The notion of indefinite in lambda calculus
La notion d'indéfini en lambda calcul
Abstract
Easiness is among the finest notions of the concept of undefinability in the field of the lambda- calculus. A term is said to be easy if it can be identified to any other arbitrary closed term without raising a contradiction. Since its introduction by Jacopini in 1975 this subject was the attention of a large research activity centered on the characterization of the structure of such easy terms. It comes out from this work that an easy term should have a periodicity i.e. should be convertible to one of its proper sub-terms. In the following the periodicity behavior will appear throughout the self-similarity property. Terms are said to be self-similar when their Berarducci tree reappears as a proper sub-tree of itself. Easiness of such terms is still a mystery and yet we only know few examples of those terms. The Y Omega_3 term is a typical term for which the easiness property is still an open question. In this thesis we will add new insights to the knowledge of m-terms that can be identified to Y Omega_3. We will show that in the critical case where lambda-beta + {Y Omega_3 = m} implies m = delta _3 and under some particular hypothesis, m is itself self-similar. In that case we show that it is possible to express all the equations derived from {Y Omega_3 = m} by using confining classes.
La facilité compte parmi les notions les plus fines de l'indéfini en lambda-calcul. Un terme est dit facile s'il peut être identifié à tout autre terme clos arbitraire sans soulever de contradiction. Introduite en 1975 par Jacopini, elle fait depuis l'objet de recherches qui visent à caractériser la forme des termes faciles. Aujourd'hui, de tous les travaux entrepris il se dégage qu'un tel terme doit posséder une périodicité. Être périodique, c'est être équivalent à un sous-terme propre de l'un de ses réduits. Ici, la périodicité apparaîtra sous les traits de l'auto-similarité. Sont auto-similaires les termes dont l'arbre de Berarducci réapparaît comme sous-arbre propre à lui-même. La facilité de tels termes demeure un mystère. À ce jour, nous n'en connaissons que peu d'exemples. Le terme "Y omega_3" constitue un exemple typique dont la question de la facilité reste ouverte. Dans cette thèse, nous étendrons la connaissance de l'ensemble des termes m identiables à Y Omega_3. Nous montrerons que dans un cas critique où lambda-beta +{Y Omega_3 = m} implique m = delta_3, sous certaines hypothèses, m est lui-même auto-similaire. Ils s'en suit une description possible de toutes les équations dérivées de {Y Omega_3= m} sous la forme de classes confinantes.