Complexité en espace de l'exploration de graphes
Résumé
Graph Exploration is a problem motivated by several aspects of theoretical computer science, including logic and computational complexity. It has also numerous applications in robotics. In all these contexts, the amount of memory used by the mobile entity (robot, finite automaton, etc.) performing exploration is a key parameter. In this thesis, we study in depth the space complexity of graph exploration, in two different frameworks.
In the first part of the thesis, we focus on exploration "without assistance", i.e., the case where the mobile entity does not possess any a priori information about the explored graph. In this context, we prove several lower and upper bounds on the amount of memory necessary and sufficient to the mobile entity for performing exploration of all graphs. In particular, we show that the depth-first search algorithm is optimal in space when the complexity is measured in term of degree and diameter.
In the second part of the thesis, we focus on exploration "with assistance", by assuming that an oracle entirely aware of the input graph can help the mobile entity, by providing some information about it. This information is measured by its bit-space complexity, and we are interested in the minimal number of bits that the oracle must provide so that the mobile entity can perform exploration. The information can be either given directly to the entity, or encoded on the vertices of the graph.
In the first part of the thesis, we focus on exploration "without assistance", i.e., the case where the mobile entity does not possess any a priori information about the explored graph. In this context, we prove several lower and upper bounds on the amount of memory necessary and sufficient to the mobile entity for performing exploration of all graphs. In particular, we show that the depth-first search algorithm is optimal in space when the complexity is measured in term of degree and diameter.
In the second part of the thesis, we focus on exploration "with assistance", by assuming that an oracle entirely aware of the input graph can help the mobile entity, by providing some information about it. This information is measured by its bit-space complexity, and we are interested in the minimal number of bits that the oracle must provide so that the mobile entity can perform exploration. The information can be either given directly to the entity, or encoded on the vertices of the graph.
Le problème de l'exploration de graphes trouve ses motivations en informatique fondamentale, notamment en logique et en théorie de la complexité. Il possède également de nombreuses applications en robotique. Quel que soit le cadre, la quantité de mémoire utilisée par l'entité mobile (robot, automate fini, etc.) effectuant l'exploration est un des paramètres importants à considérer. Dans cette thèse, nous étudions en détail la complexité en espace de l'exploration de graphes, à travers différents modèles. Nous distinguons principalement deux cadres d'études.
Dans la première partie de la thèse, nous nous attachons à l'étude de l'exploration ``sans assistance'', c'est-à-dire lorsque l'entité mobile ne possède aucune information sur le graphe à explorer. Dans ce contexte, nous prouvons plusieurs bornes inférieures et supérieures sur la quantité de mémoire nécessaire et suffisante à l'entité pour explorer tous les graphes. En particulier, nous montrons que l'algorithme très simple de parcours en profondeur d'abord est optimal en mémoire lorsque la complexité est exprimée en fonction du degré et du diamètre.
Dans la seconde partie de la thèse, nous nous attachons à l'étude de l'exploration ``avec assistance''. Nous considérons un modèle supposant l'existence d'un oracle ayant une connaissance exhaustive du graphe exploré, et capable d'aider l'entité mobile en lui fournissant de l'information. Nous nous intéressons ainsi à la quantité minimale d'information (mesurée en nombre de bits) que l'oracle doit fournir à l'entité pour permettre l'exploration. Cette information peut être soit donnée directement à l'entité, soit codée sur les sommets du graphes.
Dans la première partie de la thèse, nous nous attachons à l'étude de l'exploration ``sans assistance'', c'est-à-dire lorsque l'entité mobile ne possède aucune information sur le graphe à explorer. Dans ce contexte, nous prouvons plusieurs bornes inférieures et supérieures sur la quantité de mémoire nécessaire et suffisante à l'entité pour explorer tous les graphes. En particulier, nous montrons que l'algorithme très simple de parcours en profondeur d'abord est optimal en mémoire lorsque la complexité est exprimée en fonction du degré et du diamètre.
Dans la seconde partie de la thèse, nous nous attachons à l'étude de l'exploration ``avec assistance''. Nous considérons un modèle supposant l'existence d'un oracle ayant une connaissance exhaustive du graphe exploré, et capable d'aider l'entité mobile en lui fournissant de l'information. Nous nous intéressons ainsi à la quantité minimale d'information (mesurée en nombre de bits) que l'oracle doit fournir à l'entité pour permettre l'exploration. Cette information peut être soit donnée directement à l'entité, soit codée sur les sommets du graphes.
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