Controllability of some nonlinear fluid mechanics equations
Contrôlabilité d'équations issues de la mécanique des fluides
Résumé
In this work we study the global controllability of some nonlinear equations of fluid mechanics, namely Burgers type equations, a Korteweg-de Vries equation and a 2-D Navier-Stokes system. The strategy consists in both using the return method of J.-M. Coron and playing on the nonlinearity of the equation.
In this way, we prove in the first part the global exact controllability of nonviscous Burgers type equations, for any positive time. We then use this result to obtain a global approximate controllability result for the viscous Burgers equation. This property, added to a local controllability result gives the global controllability of the viscous Burgers equation for any positive time.
In the second part, we obtain in a similar way the global exact controllability of a nonlinear Korteweg-de Vries equation, for any positive time.
Finally, in the last part, we use the same strategy and results on the Euler equation for inviscid fluids to obtain the global null controllability of a 2-D Navier-Stokes system with Navier slip boundary conditions, for any positive time.
In this way, we prove in the first part the global exact controllability of nonviscous Burgers type equations, for any positive time. We then use this result to obtain a global approximate controllability result for the viscous Burgers equation. This property, added to a local controllability result gives the global controllability of the viscous Burgers equation for any positive time.
In the second part, we obtain in a similar way the global exact controllability of a nonlinear Korteweg-de Vries equation, for any positive time.
Finally, in the last part, we use the same strategy and results on the Euler equation for inviscid fluids to obtain the global null controllability of a 2-D Navier-Stokes system with Navier slip boundary conditions, for any positive time.
Dans cette thèse on étudie la contrôlabilité globale de quelques équations non linéaires issues de la mécanique des fluides, précisément des équations de type Burgers, une équation de Korteweg-de Vries, et un système de Navier-Stokes 2-D. La stratégie employée consiste, d'une part, à appliquer la méthode du retour de J.-M. Coron, et d'autre part, à jouer sur la non linéarité de l'équation considérée.
De cette manière, on montre dans la première partie la contrôlabilité globale exacte pour tout temps d'équations de type Burgers non visqueuses puis on utilise ensuite ce résultat pour obtenir un résultat de contrôlabilité globale approchée pour l'équation de Burgers visqueuse. Cette propriété, combinée avec un résultat de contrôlabilité locale, entraîne ainsi la contrôlabilité globale aux trajectoires de l'équation de Burgers visqueuse, pour tout temps.
Dans la deuxième partie, on procède d'une manière similaire pour obtenir la contrôlabilité globale exacte d'une équation de Korteweg-de Vries non linéaire, pour tout temps.
Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à un système de Navier-Stokes 2-D avec conditions aux bords de type Navier. On obtient, en utilisant cette fois des résultats sur l'équation d'Euler des fluides incompressibles, la contrôlabilité globale à zéro, pour tout temps.
De cette manière, on montre dans la première partie la contrôlabilité globale exacte pour tout temps d'équations de type Burgers non visqueuses puis on utilise ensuite ce résultat pour obtenir un résultat de contrôlabilité globale approchée pour l'équation de Burgers visqueuse. Cette propriété, combinée avec un résultat de contrôlabilité locale, entraîne ainsi la contrôlabilité globale aux trajectoires de l'équation de Burgers visqueuse, pour tout temps.
Dans la deuxième partie, on procède d'une manière similaire pour obtenir la contrôlabilité globale exacte d'une équation de Korteweg-de Vries non linéaire, pour tout temps.
Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à un système de Navier-Stokes 2-D avec conditions aux bords de type Navier. On obtient, en utilisant cette fois des résultats sur l'équation d'Euler des fluides incompressibles, la contrôlabilité globale à zéro, pour tout temps.
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