Around some problems of graphs embeddings

Autour de problèmes de plongements de graphes

Laurent Beaudou (1)

1 IF - Institut Fourier

This Ph.D. manuscript is built around the notion of graph embedding. An embedding of a graph G is an application mapping the vertices of G to elements of another structure, and preserving some properties of G. There are two types of embeddings. The combinatorial embeddings map the vertices of a graph G to the vertices of a graph H. The usual property that is preserved is the adjacency between vertices. In this thesis, we consider the isometric embeddings, preserving in addition the distances between vertices. We give some structural characterizations for families of graphs isometrically embeddable in hypercubes or Hamming graphs. The topological embeddings aim at drawing a graph G on some surface. Vertices are mapped to distinct points of the surface and the edges are represented by continuous curves linking these points. Is it possible to draw a graph G so that the edges do not cross eachother ? If not, what is the minimum number of crossings of a drawing of G ? We deal with these questions on different surfaces, or in relation with some graph operations as direct product or zip product.

Cette thèse s'articule autour de la notion de plongement de graphe. Un plongement de graphe consiste à envoyer les sommets d'un graphe dans une autre structure par une application qui conserve certaines propriétés à déterminer. Nous pouvons distinguer deux grandes familles de plongements. D'une part les plongements purement combinatoires qui envoient les éléments d'un graphe G dans un autre graphe H. La propriété la plus naturelle à conserver est la notion d'adjacence entre les sommets. Nous nous intéressons à la conservation d'une propriété supplémentaire : la distance entre les sommets. Nous caractérisons plusieurs familles de graphes se plongeant de cette façon dans les hypercubes ou les graphes de Hamming. Les plongements topologiques visent à représenter un graphe G sur une surface quelconque. Les sommets sont envoyés vers des points d'une surface et les arêtes vers des courbes continues entre ces points. Comment représenter un graphe afin de minimiser le nombre de croisements d'arêtes ? Nous nous posons ces questions à travers l'étude de la planarité et des nombres de croisements de certains graphes.

Keywords: Graph theory; hypercubes; embeddings; metrics; topology; planarity; crossing number

Keywords: Théorie des graphes; plongements; métriques; topologie; graphes planaires

Domains: Mathematics [math]; Computer Science [cs]

Laurent Beaudou. Autour de problèmes de plongements de graphes. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00401226⟩