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École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan (07/05/2009), Alain Trouvé (Dir.)
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APPROCHE HAMILTONIENNE POUR LES ESPACES DE FORMES DANS LE CADRE DES DIFFÉOMORPHISMES: DU PROBLÈME DE RECALAGE D'IMAGES DISCONTINUES À UN MODÈLE STOCHASTIQUE DE CROISSANCE DE FORMES
François-Xavier Vialard1, 2

Ce travail de thèse se situe dans le contexte de l'appariement d'images par difféomorphismes qui a été récemment développé dans le but d'applications à l'anatomie computationnelle et l'imagerie médicale. D'un point de vue mathématique, on utilise l'action de groupe de difféomorphismes de l'espace euclidien pour décrire la variabilité des formes biologiques.

Le cas des images discontinues n'était compris que partiellement. La première contribution de ce travail est de traiter complètement le cas des images discontinues en considérant comme modèle d'image discontinues l'espace des fonctions à variations bornées. On apporte des outils techniques pour traiter les discontinuités dans le cadre d'appariement par difféomorphismes. Ces résultats sont appliqués à la formulation Hamiltonienne des géodésiques dans le cadre d'un nouveau modèle qui incorpore l'action d'un difféomorphisme sur les niveaux de grille de l'image pour prendre en compte un changement d'intensité. La seconde application permet d'étendre la théorie des métamorphoses développée par A.Trouvé et L.Younes aux fonctions discontinues. Il apparait que la géométrie de ces espaces est plus compliquée que pour des fonctions lisses.

La seconde partie de cette thèse aborde des aspects plus probabilistes du domaine. On étudie une perturbation stochastique du système Hamiltonien pour le cas de particules (ou landmarks). D'un point de vue physique, on peut interpréter cette perturbation comme des forces aléatoires agissant sur les particules. Il est donc naturel de considérer ce modèle comme un premier modèle de croissance de forme ou au moins d'évolutions aléatoires de formes.

On montre que les solutions n'explosent pas en temps fini presque sûrement et on étend ce modèle stochastique en dimension infinie sur un espace de Hilbert bien choisi (en quelque sorte un espace de Besov ou Sobolev sur une base de Haar). En dimension infinie la propriété précédente reste vraie et on obtient un important (aussi d'un point de vue numérique) résultat de convergence du cas des particules vers le cas de dimension infinie. Le cadre ainsi développé est suffisamment général pour être adaptable dans de nombreuses situations de modélisation.
1:  CMLA - Centre de Mathématiques et de Leurs Applications
2:  IMS - Institute for Mathematical Sciences [London]
Difféomorphismes – Systèmes Hamiltonien – Discontinuités – Anatomie computationnelle – Fonctions à Variation Bornée – Geodesiques – Métamorphoses – Variétés Riemanniennes de Dimension Infinie – Modèle Stochastique de Croissance – Equations Stochastiques en Dimension Infinie – Représentation des Formes et Reconnaissance – Analyse Fonctionnelle

Hamiltonian Approach to Shape Spaces in a Diffeomorphic Framework : From the Discontinuous Image Matching Problem to a Stochastic Growth Model
This thesis takes place in the context of image matching within the framework of large deformation diffeomorphisms. With important applications to medical imaging and computational anatomy, this approach uses the action of diffeomorphisms groups in order to classify images. One of the first issue to deal with is to compute the distance between objects on which can act the group of diffeomorphisms.

The case of discontinuous images was very partially understood. The first part of this thesis is devoted to fully tackle the case of discontinuous images in any dimension. Namely the images are assumed to be functions of bounded variations. We have provided technical tools to deal with discontinuous images within the diffeomorphism framework. The first application developed is a Hamiltonian formulation of the geodesic equations for a new model including a change of contrast in the images which is represented by an action of a diffeomorphism on the values of the level lines of the image. The second one is an extension of the metamorphosis framework developed by A.Trouvé and L.Younes to SBV functions, which points out that the geometry of such spaces is much more complicated than the one with smooth functions.

The second part of the thesis takes place in the probabilistic side of the field. Taking advantage of the Hamiltonian formulation, we aim to study stochastic perturbations of the geodesic equations. From a physical point of view, the perturbation we consider affects the forces on the particles and not the speed of the particles. In some sense, this model could be an interesting dynamical model for growth of shapes or at least random evolution of shapes.

We have proven that the solutions of the system in the case of landmarks are non exploding and that there exists a SDE in infinite dimension on a suitable Hilbert space (actually a sort of Besov or Sobolev space on a Haar basis) which extends the landmark case. In infinite dimension, the solutions are also defined for all times. Moreover an important convergence result of the landmark case to the infinite dimensional case is proven. Finally, let us precise that the structure of the noise is general enough to account for correlation between points of the curve in the noise.
Diffeomorphisms – Hamiltonian Systems – Discontinuities – Computational Anatomy – Bounded Variations Functions – Geodesics – Metamorphosis – Infinite Dimensional Riemannian Manifolds – Stochastic Growth Model – Stochastic Differential Equations in Infinite Dimension – Shape Representation and Recognition – Functional Analysis

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