Some contributions to statistical prediction

Contributions à la prévision statistique

Olivier P. Faugeras (1)

1 LSTA - Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée

In a first part, the aim is to predict, in the sense of forecasting, a future value of a stochastic process, whose law is indexed by an unknown parameter, from observing its past trajectory. More precisely, it is shown on an additive regression model, how one can separate, by a time-splitting device, the statistical estimation problem from the probabilistic calculus of the predictor. The asymptotic convergence properties of the obtained genuine statistical predictor are studied.
In a second part, the aim is to predict, in the sense of explaining, a random variable Y by a another r.v. X. To that purpose, the goal is to estimate the conditional density of Y given X=x from an iid sample. A new product shaped estimator is proposed, based on the quantile transform and the copula representation, whose asymptotic convergence properties are studied. We show how it can compare favourably to its ratio-shaped competitors, and propose several variants and extensions. At last, the properties of the predictors associated to this estimator such as the regression function, the conditional mode and the highest density regions are studied. Some applications, connections and perspectives are also sketched.

Dans une première partie, on s'intéresse à la prévision d'une valeur future, non observée, d'un processus stochastique dont la loi est indexée par un paramètre inconnu, à partir des données passées de sa trajectoire. Plus précisément, on montre sur un modèle additif de régression comment on peut découpler, par un dispositif de séparation temporelle, le problème d'estimation du paramètre inconnu de celui du calcul du prédicteur probabiliste, pour obtenir un prédicteur statistique dont on étudie les propriétés de convergence asymptotiques.
Dans une seconde partie, on cherche à prédire, au sens d'expliquer, une variable Y par une variable X. Pour cela, on s'intéresse à l'estimation de la densité conditionnelle de Y sachant X = x, à partir d'un n-échantillon de couples de variables (X_i; Y_i). On propose un nouvel estimateur de forme produit, basé sur la transformation de quantile et la fonction de copule, dont on étudie les propriétés de convergence et de normalité asymptotiques. On compare l'estimateur proposé aux estimateurs concurrents de forme quotient et on en propose des modifications et des extensions. Enfin, on étudie les propriétés des prédicteurs associés à cet estimateur, à savoir le mode, la moyenne et les ensembles de niveau conditionnels. Des applications, liens et perspectives sont aussi esquissées.

Mots clés: Ensemble de niveaux conditionnels; Prévision Statistique; Processus Mélangeants; Estimation non-paramétrique; <br />Densité conditionnelle; Copules; Transformation de quantile; Régression non-paramétrique; Mode conditionnel; Ensemble de niveaux conditionnels.

Mots clés: Statistical Prediction; Mixing; Stochastic Process; Nonparametric estimation; Conditional density: Copula; Quantile transform; Modal regression; Highest density region.

Domaines: Mathématiques [math]

Olivier P. Faugeras. Contributions à la prévision statistique. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00370418⟩