Asymptotical and numerical methods for quantum resonant transport
Méthodes asymptotiques et numériques pour le transport quantique résonnant
Résumé
This work is situated in a framework of modelisation and simulation of the transport of electrons in a nano-device. This transport is described in quantum mechanics through Schrödinger-Poisson systems. The principal part of the work concentrates on the case of the resonant tunnelling diode (RTD) which wells lead to resonances of the involved Hamiltonian.
In a first part, we propose numerical methods for the simulation of RTD. To solve the corresponding Shrödinger-Poisson system --with one space variable and in an unbounded domain-- we propose a reference method available for a thin frequency mesh at resonances. The motivation is then to write an algorithm giving similar results to the reference one without the frequency refining constraint which increases the numerical cost. A method is proposed which corresponds to the decomposition of the wave functions in a non-resonant and resonant part. The last requires a precise computation of the resonant mode and of the resonance. For the stationary regime all the resonant information is captured with a large frequency mesh. The principal innovation was to adapt this method to the time dependant regime.
In a second part, we compare our reference algorithm to the algorithm of Bonnaillie-Noël, Nier and Patel which is obtained thanks to the semi-classical limit h tends to 0 and which has an interesting computational time. In the stationary regime, the comparison allowed to verify the existence of some branches of the current/voltage curve of the RTD given by the reduced model. For the two wells system, we used our transient algorithm with a value of the potential bias which corresponds to a crossing of the resonant energies related to each well, and we verified that some beating effect occurs from one well to the other.
In order to get reduced models similar to the model studied in the second part, we realize, in a third part, the asymptotical analysis of a stationary Schrödinger-Poisson model on a bounded domain of R^d, d<=3 with a background potential describing a quantum well. The Hamiltonian of this system composes of contributions -- the background potential well plus a nonlinear repulsive term -- which extends on different length scales with ratio parametrized by the small parameter h. With a partition function which forces the particles to remain in the quantum well, the limit h tend to 0 in the nonlinear system leads to different asymptotic behaviours, including spectral renormalization, depending on the dimensions 1, 2 or 3.
In a first part, we propose numerical methods for the simulation of RTD. To solve the corresponding Shrödinger-Poisson system --with one space variable and in an unbounded domain-- we propose a reference method available for a thin frequency mesh at resonances. The motivation is then to write an algorithm giving similar results to the reference one without the frequency refining constraint which increases the numerical cost. A method is proposed which corresponds to the decomposition of the wave functions in a non-resonant and resonant part. The last requires a precise computation of the resonant mode and of the resonance. For the stationary regime all the resonant information is captured with a large frequency mesh. The principal innovation was to adapt this method to the time dependant regime.
In a second part, we compare our reference algorithm to the algorithm of Bonnaillie-Noël, Nier and Patel which is obtained thanks to the semi-classical limit h tends to 0 and which has an interesting computational time. In the stationary regime, the comparison allowed to verify the existence of some branches of the current/voltage curve of the RTD given by the reduced model. For the two wells system, we used our transient algorithm with a value of the potential bias which corresponds to a crossing of the resonant energies related to each well, and we verified that some beating effect occurs from one well to the other.
In order to get reduced models similar to the model studied in the second part, we realize, in a third part, the asymptotical analysis of a stationary Schrödinger-Poisson model on a bounded domain of R^d, d<=3 with a background potential describing a quantum well. The Hamiltonian of this system composes of contributions -- the background potential well plus a nonlinear repulsive term -- which extends on different length scales with ratio parametrized by the small parameter h. With a partition function which forces the particles to remain in the quantum well, the limit h tend to 0 in the nonlinear system leads to different asymptotic behaviours, including spectral renormalization, depending on the dimensions 1, 2 or 3.
Le travail de cette thèse se place dans un contexte de modélisation et de simulation numérique du transport d'électrons dans un nano-composant. Ce transport est décrit en mécanique quantique à l'aide de systèmes de Schrödinger-Poisson. La majeure partie du travail se concentre sur le cas de la diode à effet tunnel résonnant (RTD) dont les puits quantiques donnent lieu à des résonances de l'Hamiltonien mis en jeu.
Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.
Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.
En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d<=3, avec un potentiel extérieur décrivant un puits quantique. L'Hamiltonien du système est composé de contributions -- le puits du potentiel extérieur plus un terme non linéaire répulsif -- qui s'étendent sur des échelles de longueurs différentes dont le rapport est donné en fonction du paramètre semi-classique h destiné à tendre vers 0. Avec une fonction de distribution en énergie qui force les particules à rester dans le puits quantique, la limite h tend vers 0 dans le système non linéaire conduit à différents comportements asymptotiques dont l'analyse nécessite une renormalisation spectrale et dépendant de la dimension d'espace d=1, 2 ou 3.
Dans une première partie, nous proposons des méthodes numériques pour la simulation de RTD. Pour résoudre le problème de Shrödinger-Poisson -- en une variable d'espace et en domaine non borné -- qui correspond, nous proposons une méthode de référence valide pour un maillage fin en fréquence autour des résonances. Le travail est motivé par l'écriture d'un algorithme permettant de retrouver les résultats de la méthode de référence en s'affranchissant de la contrainte de raffinement en fréquence qui rend les temps de calcul excessifs. Nous proposons une méthode consistant en la décomposition des fonctions d'onde en une partie non résonnante et une partie résonnante, la dernière nécessitant un calcul précis du mode résonnant et de la valeur de la résonance. En régime stationnaire, la totalité de l'information résonnante est captée sans avoir à raffiner le maillage en fréquence. La principale nouveauté a été d'adapter cette méthode en régime instationnaire.
Dans une deuxième partie, nous comparons notre algorithme de référence à l'algorithme de Bonnaillie-Noël, Nier et Patel basé sur un modèle réduit obtenu en réalisant la limite semi-classique h tend vers 0 et intéressant par son temps de calcul. En régime stationnaire, la comparaison a permis de vérifier l'existence de certaines branches de la courbe courant/tension de la RTD prévues par le modèle réduit. Dans le cas de deux puits, nous avons utilisé notre algorithme instationnaire dans une région de la différence de potentiel où un croisement des énergies résonnantes associées à chaque puits se produit donnant une évidence numérique de l'occurrence de phénomènes de battement de la charge d'un puits à l'autre.
En vue d'obtenir des modèles réduits similaires à celui étudié dans la deuxième partie, on réalise, dans une troisième partie, l'étude asymptotique d'un système de Schrödinger-Poisson stationnaire considéré sur un domaine borné inclus dans R^d, d<=3, avec un potentiel extérieur décrivant un puits quantique. L'Hamiltonien du système est composé de contributions -- le puits du potentiel extérieur plus un terme non linéaire répulsif -- qui s'étendent sur des échelles de longueurs différentes dont le rapport est donné en fonction du paramètre semi-classique h destiné à tendre vers 0. Avec une fonction de distribution en énergie qui force les particules à rester dans le puits quantique, la limite h tend vers 0 dans le système non linéaire conduit à différents comportements asymptotiques dont l'analyse nécessite une renormalisation spectrale et dépendant de la dimension d'espace d=1, 2 ou 3.
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