Equations with diffusion is governed by the range of interactions at long distance.
Equations de diffusion paramétrée par la portée des interactions à longue distance.
Résumé
This thesis is devoted to a quasilinear parabolic equation in which the diffusion is defined by the length of different nonlocal interactions. As regards stationary problem, having shown the results of existence, uniqueness and continuity. We introduce a general criterion of inversibility later depending on parameter, this very important criterion is going to allow us in example of application to find well known results when parameter will be equal to the diameter of domain. We give then a fundamental result of comparison of solutions in the case of radial symmetrical solutions and a general implementation of count of solutions. Finally we give some numerical applications using a method of fixed point and Newton's method to illustrate these results. As regards parabolic problem having shown existence of global attractor associated to our problem, we show an estimate $L^\infty$ of solution according to estimate $L^q$, $q>1$ by using Moser's iteration.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'une équation parabolique quasilinéaire dans laquelle la diffusion est paramétrée par la longueur des différentes interactions non locales. Pour ce qui est du problème stationnaire associé, après avoir montré des résultats d'existence, d'unicité et de continuité. Nous présentons ensuite un critère général d'inversibilité dépendant du paramètre, ce critère très important va par la suite nous permettre en exemple d'application de retrouver des résultats d'inversibilités déjà connus lorsque le paramètre est égale au diamètre du domaine. Nous donnons ensuite un résultat de principe de comparaison de solutions symétriques radiales et une généralisation du compte du nombre de solutions. Enfin nous donnons quelques applications numériques utilisant une méthode de point fixe et de Newton pour illustrer ces résultats. Pour le problème d'évolution, après avoir montré l'existence d'un attracteur global associé à notre problème, nous démontrons une estimation $L^\infty$ de la solution en fonction d'estimations $L^q$, $q>1$ utilisant des itérations de type Moser.