Dimensionnement robuste des réseaux de télécommunications face à l'incertitude de la demande
Résumé
One of the main problems in telecommunications is the robust network design under demand uncertainty. Having the network's architecture and a given budget for the capacity allocation problem, the aims is to identify a feasible capacity that minimizes the worst case of non-satisfying demand. Firstly, the demand's uncertainty is formulated as a convex hull defined by a finite number of scenarios. We prove that the problem can be rewritten as the minimization of a convex function over a polyhedral. So, an optimal solution is calculated using three cutting-plane methods: Kelley, Elzinga-Moore and Bundle. Then the uncertainty is formulated as a polyhedral described by a unite number of linear inequalities, which leads to a problem considerably more difficult. In consequence, we search only for upper and lower bounds. Some innovating ideas are presented and Falk & Soland Branch & Bound algorithm is used in order to calculate the maximum of an additive convex function; moreover, we define a variant of this algorithm, adapted to our particular problem. After having defined the network's design, the next step is to calculate the optimal routing in the network. The congestion is minimized using as objective function the Kleinrock delay function. The resulting problem is convex but non-linear and the dual function is the sum of a polyhedral function and of a smooth function. To solve this problem, a hybrid algorithm is implemented, based on Lagrangian relaxation.
Un des problemes majeurs dans le domaine des telecommunications est de construire des réseaux robustes qui puissent faire face a l'incertitude de la demande. Ayant l'architecture d'un réseau et un budget donne pour le problème d'allocation de la capacité, le but est d'identifier une capacité faisable, qui minimise le pire cas de demande insatisfaite. Premièrement, nous formulons l'incertitude de la demande comme un polytope engendre par un nombre fini de scénarios de la demande. Nous montrons que le problème peut se ramener a la minimisation d'une fonction convexe sur un polyèdre. Nous calculons alors une solution optimale par trois méthodes de plans sécants : Kelley, Elzinga & Moore et faisceaux. Ensuite, nous formulons l'incertitude comme un polyèdre décrit par un nombre fini d'inégalités linéaires, ce qui résulte en un problème considérablement plus difficile. Par conséquent, nous cherchons uniquement des bornes supérieures et inférieures. Quelques idées novatrices sont présentées et l'algorithme de type \Branch & Bound" de Falk & Soland est utilise afin de calculer le maximum d'une fonction convexe additive ; de plus, nous défifinissons une variante de cet algorithme, adaptée a notre situation particulière. Après avoir défini la capacité d'un réseau, l'étape suivante est de calculer le routage optimal dans ce réseau. Nous minimisons la congestion en utilisant comme objectif la fonction moyenne de retard de Kleinrock. Le problème résultant est convexe mais non-linaire et la fonction duale est la somme d'un terme polyédral et d'un terme différentiable. Afin de résoudre ce problème, nous implémentons un algorithme hybride base sur la relaxation Lagrangienne.
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