Tertiary education : Situations to allow the entrance to a mixed process of proofs – formal vs. pragmatic.

Enseignement du début de l'analyse réelle à l'entrée à l'université : Articuler contrôles pragmatique et formel dans des situations à dimension a-didactique.

Imène Ghedamsi (1)

1 DAESL - Didactique et Anthropologie des Enseignements Scientifiques et Techniques

This study of secondary-tertiary transition on real Analysis allows us to identify a model of macro-didactic variables (VMD) related to levels of familiarity with mathematical knowledge. From upper secondary school to University, the values of each variable undergo from very plain calculation to conceptual knowledge, which led us to identify potential students' difficulties. This research focuses on the means that could be undertaken in tertiary education in order to manage such variations and to allow students build more relevant Analysis knowledge.
Assuming the frame of the theory of didactical situations, we build and experiment two situations with an a-didactic dimension at a level (first year at University) where only a formal existence of mathematical objects has been taught to students. Our situations focus on approximation methods, such as to allow either geometrical or numerical 'pragmatic proofs' or the use of theorems. These situations allow then to consider the semantic / syntactic dialectic in a process of proof, and so permit an effective return to the aimed knowledge. More precisely, the entrance to a mixed process of proofs – formal vs. pragmatic – was unavoidable in the students' work through the emergence of issues related to the existence and accessibility of specific objects: irrational numbers, sequences, limits.
As a conclusion, we suggest to study more in depth the efficiency of the kind of theoretical milieu we built, for instance by introducing other experimental situations and by evaluating knowledge that have been built by students in this new didactical contract.

Cette recherche étudie l'enseignement des premiers éléments de l'Analyse réelle à la transition lycée/université à travers un modèle de variables macro-didactiques (VMD) relatives aux niveaux de formalisation et de familiarité des savoirs mathématiques proposés aux élèves. Lorsque l'on passe du lycée à l'université, les valeurs de ces variables sont dichotomiques et témoignent d'une profonde mutation dans le travail mathématique demandé. Nous nous posons la question des moyens que peut se donner l'enseignement des mathématiques, à l'entrée à l'université, pour gérer des variations aussi importantes et permettre aux étudiants d'accéder aux objets de l'Analyse réelle.
Une ingénierie a porté sur la construction et l'expérimentation, dans le cadre de la TSD (Théorie des Situations Didactiques), de deux situations sur les limites, que nous avons expérimentées à un niveau du cursus où seule l'existence formelle des objets de l'Analyse réelle a été établie par les professeurs. Nous avons ciblé le travail des étudiants sur les méthodes d'approximation, afin de favoriser des allers/retours entre les "preuves pragmatiques" géométriques ou numériques et l'utilisation des théorèmes d'Analyse. Les situations prennent en compte la dialectique sémantique/ syntaxique dans un processus de preuve, et permettent un retour efficace sur les savoirs visés. L'entrée dans un processus de preuves mixtes – pragmatiques vs formelles – a ainsi été rendu obligatoire dans le travail des étudiants, à travers l'émergence du problème général de l'existence et de l'accessibilité des nombres, des limites et des suites.
En conclusion, nous proposons de poursuivre l'étude du milieu théorique des situations de l'Analyse réelle, d'introduire d'autres situations expérimentales et d'étudier plus en profondeur les connaissances des étudiants dans le contrat didactique instauré par de telles situations.

Keywords: Real Analysis; numerical methods; real numbers; limits; existence/accessibility; pragmatic proof/ formal proof; semantic/syntactic dialectic; theory of didactical situations; a-didactic dimension; macro-didactic variables; micro-didactic variables.

Keywords: Analyse réelle; nombres réels; méthodes numériques d'approximation; ordres de connaissances; limites; existence/accessibilité; preuve pragmatique/preuve formelle; dialectique sémantique/syntaxique; Théorie des Situations Didactiques et structuration du milieu; dimension a-didactique; variables macro-didactiques; variables micro-didactiques; ordres de connaissances.

Domains: Education; Mathematics [math]

Imène Ghedamsi. Enseignement du début de l'analyse réelle à l'entrée à l'université : Articuler contrôles pragmatique et formel dans des situations à dimension a-didactique.. Education. Université de Tunis; Université Victor Segalen - Bordeaux II, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00361848⟩