Generation of multifractal signals with underlying branching structure

Génération de signaux multifractals possédant une structure de branchement sous-jacente

Geoffrey Decrouez (1)

1 GIPSA-lab - Grenoble Images Parole Signal Automatique

Fractal geometry, pioneered by Mandelbrot in the 70s, has been recognized in many areas of science. The novelty of this thesis is the generation of fractal and multifractal processes with underlying construction tree. I study two models in particular. The first one is a generalisation of Iterated Function Systems (IFS), introduced by Hutchinson in the early 80s. IFS are an efficient tool to generate fractal sets and functions, by iterating a given set of operators. The idea here is to allow a random number of random operators at each iteration of the algorithm. We derive simple conditions under which the IFS possesses a fixed point. A few properties of the fixed point are also investigated. The second model, called Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), is obtained via a multifractal time change of a discrete self-similar process, the Canonical EBP (CEBP). We give an efficient simulation online algorithm which generates X(n+1) from X(n) in O(log n) steps. We also derive an upper bound of the multifractal spectrum of the time change and we confirm the theoretical results with simulations. Subordinated Brownian motions are particular cases of MEBP processes, which suggests a potential application of MEBP in finance. Finally, we propose to imitate a fractional Brownian motion with an MEBP.

La géométrie fractale, développée par Mandelbrot dans les années 70, a connu un essor considérable ces 20 dernières années. Dans cette thèse, je m'intéresse à la génération de signaux dits fractals et multifractals. J'étudie en particulier 2 modèles, dont leur point commun est leur structure d'arbre de branchement sous jacente.
Le premier modèle est une généralisation des Systèmes de fonctions Itérés ou IFS, introduits par Hutchinson dans les années 80. Les IFS constituent un moyen simple et efficace pour produire des ensembles et des processus fractals en itérant un nombre fixed d'opérateurs. L'idée est d'autoriser un nombre aléatoire d'opérateurs aléatoires à chaque itération de l'algorithme. Nous donnons des conditions simples et faciles à vérifier sous lesquelles l'IFS admet un point fixe. Quelques propriétés du point fixe sont également étudiées. Le deuxième modèle, que nous appellons Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), s'obtient à l'aide d'un changement de temps multifractal d'un processus à invariance d'échelle discrète, le processus EBP Canonique (CEBP). Nous donnons un algorithm efficace de simulation "on-line" de ces processus, permettant de générer X(n + 1) à partir de X(n) en O(log n) opérations. Nous obtenons également un borne supérieure pour le spectre multifractal du changement de temps et confirmons les résultats théoriques à l'aide de simulations. Les mouvements Browniens en temps multifractal sont des cas particuliers des processus MEBP, ce qui suggère une application potentielle des processus MEBP en finance. Enfin, nous proposons d'imiter un mouvement Brownien fractionnaire à l'aide d'un processus MEBP.

Mots clés: Self-similarity; Iterated Function Systems; Multifractal formalism; Hausdorff spectrum; Crossing tree; Galton-Watson tree; fractional Brownian motion

Mots clés: Invariance d'échelle; Systèmes de Fonctions Itérés; Formalisme multifractal; Spectre de Hausdorff; Arbre de branchement; Arbre de Galton-Watson; mouvement Brownien fractionnaire.; mouvement Brownien fractionnaire

Domaines: Traitement du signal et de l'image [eess.SP]; Mathématiques [math]

Geoffrey Decrouez. Generation of multifractal signals with underlying branching structure. Signal and Image processing. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG; University of Melbourne, 2009. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00353827⟩