Certificates of positivity and polynomial minimization in the multivariate Bernstein basis.
Certificats de positivité et minimisation polynomiale dans la base de Bernstein multivariée
Résumé
When dealing with multivariate real polynomials, two natural questions arise : decide if a given polynomial is positive and compute its minimum.
This thesis is devoted to those problems when the study is led on a simplex of $\R^k$. The main tool is the Bernstein basis, more suited in this case than the traditional monomial basis. In particular, its positivity and bounding properties are essential.
We first derive an algorithm deciding if a given polynomial $f$ is positive on a simplex $V$ of $\R^k$, and giving, if need be, an expression of $f$ that makes its positivity trivial : a so-called certificate of positivity.
We also derive an algorithm for minimizing a polynomial $f$ over a simplex $V$. Both algorithms are certified, and their complexity is studied in this thesis.
This thesis is devoted to those problems when the study is led on a simplex of $\R^k$. The main tool is the Bernstein basis, more suited in this case than the traditional monomial basis. In particular, its positivity and bounding properties are essential.
We first derive an algorithm deciding if a given polynomial $f$ is positive on a simplex $V$ of $\R^k$, and giving, if need be, an expression of $f$ that makes its positivity trivial : a so-called certificate of positivity.
We also derive an algorithm for minimizing a polynomial $f$ over a simplex $V$. Both algorithms are certified, and their complexity is studied in this thesis.
L'étude des polynômes réels en plusieurs variables est un problème classique en géométrie algébrique réelle et en calcul formel. Plusieurs questions sont naturelles : positivité éventuelle, calcul du minimum...
Nous nous proposons, dans cette thèse, d'étudier ces questions dans le cas particulier où l'étude est menée sur un simplexe de $\R^k$.
L'outil essentiel dans notre travail est la base de Bernstein, plus adaptée à la situation que la traditionnelle base des monômes. Elle jouit notamment de propriétés de positivité et d'encadrement essentielles à notre étude.
Elle permet tout d'abord d'obtenir un algorithme décidant si un polynôme $f$ est positif sur un simplexe $V$, et le cas échéant, fournissant une écriture de $f$ rendant triviale cette positivité : on parle de certificat de positivité.
En outre, elle est à l'origine d'un algorithme de minimisation polynomiale sur un simplexe. Ces deux algorithmes sont certifiés, et l'étude de leur complexité est menée dans cette thèse. Ils ont également fait l'objet d'implémentation sur ordinateur.
Nous nous proposons, dans cette thèse, d'étudier ces questions dans le cas particulier où l'étude est menée sur un simplexe de $\R^k$.
L'outil essentiel dans notre travail est la base de Bernstein, plus adaptée à la situation que la traditionnelle base des monômes. Elle jouit notamment de propriétés de positivité et d'encadrement essentielles à notre étude.
Elle permet tout d'abord d'obtenir un algorithme décidant si un polynôme $f$ est positif sur un simplexe $V$, et le cas échéant, fournissant une écriture de $f$ rendant triviale cette positivité : on parle de certificat de positivité.
En outre, elle est à l'origine d'un algorithme de minimisation polynomiale sur un simplexe. Ces deux algorithmes sont certifiés, et l'étude de leur complexité est menée dans cette thèse. Ils ont également fait l'objet d'implémentation sur ordinateur.
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