Nonparametric estimation for diffusion processes and regression models
Estimation non paramétrique pour des modèles de diffusion et de régression
Résumé
We consider the problem of estimating an unknown function at a fixed point in nonparametric regression or diffusion models. The risk associated to the use of an estimator is defined through the absolute error loss. In this work we aim at finding an asymptotic lower bound for the minimax risk and then to construct an asymptotically efficient estimator, that is to say an estimator for which the maximal risk asymptotically attains this bound.
For a nonparametric heteroscedastic model where the standard deviation of the noise depends on the regressor and on the regression function belonging to a weak hölderian class with known smoothness, we show that a kernel estimator is asymptotically efficient. When the smoothness of the regression function remains unknown, we obtain the adaptive rate of convergence of the estimators over a family of hölderian classes. Eventually for a diffusion model where the drift function belongs to a hölderian neighborhood of a lipschitzian function, we develop the construction of an asymptotically efficient kernel estimator.
For a nonparametric heteroscedastic model where the standard deviation of the noise depends on the regressor and on the regression function belonging to a weak hölderian class with known smoothness, we show that a kernel estimator is asymptotically efficient. When the smoothness of the regression function remains unknown, we obtain the adaptive rate of convergence of the estimators over a family of hölderian classes. Eventually for a diffusion model where the drift function belongs to a hölderian neighborhood of a lipschitzian function, we develop the construction of an asymptotically efficient kernel estimator.
Nous considérons le problème de l'estimation d'une fonction inconnue en un point fixe à l'aide de données régies par des modèles de régression ou de diffusion. Pour définir le risque associé à l'emploi d'un estimateur et ainsi mesurer la qualité de celui-ci, nous utilisons la fonction de perte liée à l'erreur absolue. Le travail de cette thèse suit l'approche minimax dont l'objectif est de trouver une borne inférieure asymptotique du risque minimax puis de construire un estimateur, dit asymptotiquement efficace, dont le risque maximal atteint asymptotiquement cette borne.
Pour un modèle de régression non paramétrique et hétéroscédastique, où l'écart-type du bruit dépend à la fois du régresseur et de la fonction de régression supposée appartenir à une classe höldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction de régression est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes höldériennes. Enfin, pour un modèle de diffusion où la dérive appartient à un voisinage höldérien faible centré en une fonction lipschitzienne, nous présentons la construction d'un estimateur à noyau asymptotiquement efficace.
Pour un modèle de régression non paramétrique et hétéroscédastique, où l'écart-type du bruit dépend à la fois du régresseur et de la fonction de régression supposée appartenir à une classe höldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction de régression est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes höldériennes. Enfin, pour un modèle de diffusion où la dérive appartient à un voisinage höldérien faible centré en une fonction lipschitzienne, nous présentons la construction d'un estimateur à noyau asymptotiquement efficace.
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