Interpolation dans les algèbres de Hörmander
Interpolation in Hörmander algebras
Résumé
We deal with interpolation problems in spaces ${\mathcal A}_p(\C)$ of entire functions such that $\sup_{z\in \C}\vert f(z)\vert e^{-Bp(z)}<\infty$, where $p$ is a weight function and $B$ is a certain positive constant. These spaces are algebras under the ordinary product of functions. They are called Hörmander algebras. The problem may be formulated as follows : given a discrete sequence of complex numbers $\{\alpha_j\}$ and a sequence of complex values $\{w_j\}$ satisfying $\sup_j\vert w_j\vert e^{-B'p(\alpha_j)}<\infty$ with a certain constant $B'>0$, under what conditions does there exist a function $f\in {\mathcal A}_p(\C)$ such that for all $j$,$f(\alpha_j)=w_j $?This problem was motivated by its applications to harmonic analysis and more precisely to convolution equations. We explore this field by applying certain of our results to mean-periodic functions. We are also concerned with these interpolation questions in several variables.
Nous traitons des problèmes d'interpolation dans les espaces ${\mathcal A}_p(\C)$ des fonctions entières telles que $\sup_{z\in \C}\vert f(z)\vert e^{-Bp(z)}<\infty$, où $p$ est une fonction poids et $B$ est une constante positive qui peut varier. Ces espaces sont des algèbres, qu'on appelle algèbres de Hörmander. Le problème peut être formulé de la manière suivante : étant donnée une suite discrète de nombres complexes $\{\alpha_j\}$ et une suite de valeurs complexes $\{w_j\}$ vérifiant $\sup_j\vert w_j\vert e^{-B'p(\alpha_j)}<\infty$ avec une certaine constante $B'>0$, à quelles conditions existe-t-il une fonction $f\in {\mathcal A}_p(\C)$ telle que, pour tout $j$,$f(\alpha_j)=w_j $?Ce problème a été motivé par ses applications à l'analyse harmonique et particulièrement aux équations de convolution. Nous explorons cet aspect en appliquant certains de nos résultats sur l'interpolation aux fonctions moyenne-périodiques. Nous nous intéressons également à la question de l'interpolation en plusieurs variables complexes.
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