Three-dimensional patterns in cylindrical Rayleigh-Benard convection
Motifs tridimensionnels dans la convection de Rayleigh-Benard
Abstract
We simulate the Boussinesq equations for Rayleigh-Bénard convection in a cylindrical container. In the first part, for aspect ratios near 1.5, Prandtl number 1 and insulating sidewalls, the transition from an axisymmetric stationary flow to time-dependent flows is studied using nonlinear simulations, linear stability analysis and bifurcation theory. At a Rayleigh number near 25000, the axisymmetric flow becomes unstable to standing or travelling azimuthal waves. The standing waves are slightly unstable to travelling waves. This scenario is identified as a Hopf bifurcation in a system with $O(2)$ symmetry. In the second part of the study we investigate the phenomenon of coexisting stable states, using the aspect ratio 2, Prandtl number 6.7 and either perfectly insulating or perfectly conducting sidewalls. Varying Rayleigh number and initial conditions, we obtain various convective patterns for the same Rayleigh number. We show also a preliminary bifurcation diagram containing stable branches. The results for perfectly insulating sidewalls are in good agreement with experiments.
Nous simulons numériquement les équations de Boussinesq pour la convection de Rayleigh-Bénard en récipient cylindrique. Dans la première partie, pour un rapport d'aspect d'environ 1.5, le nombre de Prandtl 1 et parois verticales isolantes, une transition d'un écoulement stationnaire axisymétrique vers des écoulements non-stationnaires est étudiée, par moyens de simulations non-linéaires, analyse de stabilité linéaire et théorie de bifurcations. Pour un nombre de Rayleigh d'environ $25\,000$, l'état axisymétrique devient instable vers les ondes azimutales stationnaires ou progressives. Les ondes stationnaires sont légèrement instables vers les ondes progressives. Ce scénario est identifié comme une bifurcation de Hopf dans un système avec une symétrie $O(2)$. Dans la deuxième partie nous étudions le phénomène de coexistence d'états stables pour le rapport d'aspect 2, le nombre de Prandtl 6.7 et les parois verticales soit parfaitement isolantes, soit parfaitement conductrices. En faisant varier le nombre de Rayleigh et les conditions initiales, nous obtenons une grande variété de motifs convectifs pour le même nombre de Rayleigh. Nous donnons un diagramme de bifurcations préliminaire, montrant les branches stables. Les résultats pour les parois verticales parfaitement isolantes sont en bon accord avec les expériences.
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