Some Applications of Symmetries in Differential Geometry and Dynamical Systems
Quelques applications des symétries en géométrie différentielle et systèmes dynamiques
Résumé
My research lies at the interface of Riemannian, contact, and symplectic geometry. It deals with the construction of Kähler and Sasaki-Einstein metrics, with the study of conformal Hamiltonian systems, the geometry of cosphere bundles, and proper Lie groupoids. The main theme of this thesis is the study of applications of Lie symmetries in differential geometry and dynamical systems. The first chapter of the thesis studies the singular reduction of cosphere fiber bundles. The copshere bundle of a differentiable manifold $M$ (denoted by $S^*(M)$) is the quotient of its cotangent bundle without the zero section with respect to the action by multiplications of $\RR^+$ which covers the identity on $M$. It is a contact manifold which has the same privileged position in contact geometry that cotangent bundles have in symplectic geometry. Using a Riemannian metric on $M$, we can identify $S^*(M)$ with its unitary tangent bundle and its Reeb vector field with the geodesic field on $M$. If $M$ is endowed with the proper action of a Lie group $G$, the lift of this action on $S^*(M)$ respects the contact structure and admits an equivariant momentum map $J$. We study the topological and geometrical properties of the reduced space of $S^*(M)$ at zero momentum, i.e. $\left(S^*(M)\right)_0 :=J^{-1}(0)/G$. Thus, we generalize the results of \cite{dragulete--ornea--ratiu} to the singular case. Applying the general theory of contact reduction developed by Lerman and Willett in \cite{lerman--willett} and \cite{willett}, one obtains contact stratified spaces that lose all information of the internal structure of the cosphere bundle. Even more, the cosphere bundle projection to the base manifold descends to a continuous surjective map from $\left(S^*(M)\right)_0$ to $M/G$, but it fails to be a morphism of stratified spaces if we endow $\left(S^*(M)\right)_0$ with its contact stratification and $M/G$ with the customary orbit type stratification defined by the Lie group action. Based on the cotangent bundle reduction theorems, both in the regular and singular case, as well as regular cosphere bundle reduction, one expects additional bundle-like structure for the contact strata. To solve these problems, we introduce a new stratification of the contact quotient at zero, called the \textit{C-L stratification} (standing for the coisotropic or Legendrian nature of its pieces). It is compatible with the contact stratification of $\left(S^*(M)\right)_0$ and the orbit type stratification of $M/G$. It is also finer than the contact stratification. Also, the natural projection of the C-L stratified quotient space $\left(S^*(M)\right)_0$ to its base space, stratified by orbit types, is a morphism of stratified spaces. Each C-L stratum is a bundle over an orbit type stratum of the base and it can be seen as a union of C-L pieces, one of them being open and dense in its corresponding contact stratum and contactomorphic to a cosphere bundle. Hence we have identified the maximal strata endowed with cosphere bundle structure. The other strata are coisotropic or Legendrian submanifolds in the contact components that contain them. Consequently, we can perform a complete geometric and topological analysis of the reduced space. We also study the behaviour of the projection on $\left(S^*(M)\right)_0$ of the Reeb flow (geodesic flow). The set of contact Hamiltonian vector fields (the analogous of Hamiltonian vector fields in symplectic geometry) form the "Lie" group of the algebra of contact transformations. In the first chapter we also present the reduction of contact systems (which locally are in bijective correspondence with the non-autonomus Hamilton-Jacobi equations) and time dependent Hamiltonian systems. In the second chapter of this thesis we study quotients of Kähler and Sasaki-Einstein manifolds. We construct a reduction procedure for symplectic and Kähler manifolds (endowed with symmetries generated by a Lie group) which uses the ray pre-images of the associated momentum map. More precisely, instead of considering as in the Marsden- Weinstein reduction (point reduction) the pre-image of a momentum value $\mu$, we use the pre-image of $\RR^+\mu$, its positive ray. We have three reasons to develop this construction. One is geometric: the construction of canonical reduced spaces of Kähler manifolds corresponding to a non zero momentum. By canonical we mean that the reduced Kähler structure is the projection of the initial Kähler structure. The point reduction (Marsden-Weinstein) given by $M_\mu:=\frac{J^{-1}(\mu)}{G_\mu}$, where $\mu$ is a value of the momentum map $J$ and $G_\mu$ the isotropy subgroup of $\mu$ with respect to the coadjoint action of $G$ is not always well defined in the Kähler case (if $G\neq G_\mu$). The problem is caused by the fact that the complex structure of $M$ does not leave invariant the horizontal distribution of the Riemannian submersion which projects $J^{-1}(\mu)$ on $M_\mu$. The solution proposed in the literature uses the reduced space at zero momentum of the symplectic difference of $M$ with the coadjoint orbit of $\mu$ endowed with a unique Kähler-Einstein form (constructed, for insatnce, in \cite{besse}, Chapter $8$) and different from the Kostant-Kirillov-Souriau form. The uniqueness of the form on the coadjoint orbit ensures that the reduced space is well defined. On the other hand, not using the Kostant-Kirillov-Souriau form implies the fact that the reduced space is no longer canonical. The ray reduced space that we construct is canonical and can be defined for any momentum. It is the quotient of $J^{-1}(\RR^+\mu)$ with respect to a certain normal subgroup of $G_\mu$. The second reason is an application to the study of conformal Hamiltonian systems (see \cite{mclachlan--perlmutter}). They are mechanical, non-autonomous systems with friction whose integral curves preserve, in the case of symmetries, the ray pre-images of the momentum map, but not the point (momentum) preimages of the Marsden-Weinstein quotient. We extend the notion of conformal Hamiltonian vector field by showing that one can thus include in this study new mechanical systems. Also, we present the reduction of conformal Hamiltonian systems. The third reason consists of finding the necessary and sufficient conditions for the ray reduced spaces of Kähler (Sasakian)-Einstein manifolds to be also Kähler (Sasakian)-Einstein. We deal with this problem in the second chapter of the thesis, in \cite{dragulete--ornea}, and in \cite{dragulete--doi} where we use techniques of A. Futaki. Thus, we can construct new Sasaki-Einstein structures. As examples of symplectic (Kähler) and contact (Sasakian) ray quotients we treat the case of cotangent and cosphere bundles and show that they are universal spaces for ray reductions. Examples of toric actions on spheres are also described. The third chapter of my thesis studies the space of orbits of a proper Lie groupoid. In \cite{weinstein--unu}, \cite{weinstein--doi} A. Weinstein has partially solved the problem of linearization of proper groupoids. In \cite{zung}, N. T. Zung has completed it by showing a theorem of Bochner type for proper groupoids. Using ideas from foliation theory and the slice (linearization) theorem of Weinstein and Zung, we prove a stratification theorem for the orbit space of a proper groupoid. We show explicitely that the orbital foliation of a proper Lie groupoid is a Riemannian singular foliation in the sense of Molino. For all these we have two motivations. On one hand we want to prove that there is an equivalence between proper groupoids and orbispaces (the spaces which are locally quotients with respect to an action of a compact Lie group). On the other hand we would like to study the reduction of infinitesimal actions (actions of Lie algebras) which are not integrable to Lie group actions. These actions and their integrability have been studied, among others, by Palais (\cite{palais}), Michor, Alekseevsky.
Mes recherches se situent à l'interface de la géométrie Riemannienne et des géométries de contact et symplectique et portent sur la construction des métriques Kähler ou Sasakie-Einstein, sur l'étude des systèmes Hamiltonians conformes, la géométrie des fibrés cosphériques et les groupoïdes de Lie propres. Le thème principal de cette thèse est l'étude des applications des symétries Lie en géométrie différentielle et systèmes dynamiques. Le premier chapitre de cette thèse étudie la réduction singulière des symétries du fibré cosphérique, les propriétés conservatives des systèmes de contact et leurs réduction. Le fibré cosphérique d'une variété différentiable $M$ (dénoté par $S^*(M)$) est le quotient de son fibré cotangent sans la section nulle par rapport à l'action par multiplication de $\RR^+$ qui couvre l'identité sur $M$. C'est une variété de contact qui détient en géométrie de contact la position analogue du fibré cotangent en géométrie symplectique. En utilisant une métrique Riemannienne sur $M$, on peut identifier $S^*(M)$ avec son fibré tangent unitaire et son champ de Reeb avec le champ géodésique de $M$. Si $M$ est munie de l'action propre d'un groupe de Lie $G$, le relèvement de cette action à $S^*(M)$ respecte la structure de contact et admet une application moment équivariante $J$. Nous étudions les propriétés topologiques et géométriques de l'espace réduit à moment zéro de $S^*(M)$, i.e. $\left(S^*(M)\right)_0 :=J^{-1}(0)/G$. Ainsi, nous généralisons les résultats de \cite{dragulete--ornea--ratiu} au cas singulier. Appliquant la théorie générale de réduction de contact, théorie dévéloppée par Lerman et Willett dans \cite{lerman--willett} et \cite{willett}, on obtient des espaces qui perdent toute information sur la structure interne du fibré cosphérique. En plus, la projection du fibré cosphérique sur sa base descend à une surjection continue de $\left(S^*(M)\right)_0$ à $M/G$, mais qui n'est pas un morphisme d'espaces stratifiés si on munit l'espace réduit avec sa stratification de contact et l'espace de base avec la stratification standarde de type orbitale définie par l'action du groupe de Lie. Compte tenu des théorèmes de réduction du fibré cotangent (cas régulier et singulier) et du fibré cosphérique ( cas régulier), on s'attend à ce que les strates de contact aient une structure fibrée additionnelle. Pour résoudre ces problèmes, nous introduisons une nouvelle stratification de $\left(S^*(M)\right)_0$, nommée la \emph{stratification C-L} (les deux majuscules symbolisent la nature coisotrope ou Legendréenne de leurs strates). Elle est compatible avec la stratification de contact de $\left(S^*(M)\right)_0$ et la stratification de type orbital de $M/G$. Aussi, elle est plus fine que la stratification de contact et rend la projection de $\left(S^*(M)\right)_0$ sur $M/G$ un morphism d'espaces stratifiés. Chaque strate C-L est un fibré sur une strate de type orbital de $M/G$ et elle peut être vue comme une union de strates C-L, une d'entre elles étant ouverte et dense dans la strate de contact correspondante et difféomorphe à un fibré cosphérique. Ainsi, nous avons identifié les strates maximales munies de structure de fibrés cosférique. Les autres strates sont des sous-variétés coisotropes ou Legendre dans les composantes de contact qui les contiennent. Par conséquant nous faison une analyse géométrique et topologique complète de l'espace réduit. Nous analysons aussi le comportement de la projection sur $\left(S^*(M)\right)_0$ du flot de Reeb (flot géodésique). L'ensemble de champs de vecteurs de contact (les analogues des champs de vecteurs Hamiltonians en géométrie symplectique) forment le "groupe de Lie" de l'algèbre des transformations de contact. Dans le premier chapitre nous présentons aussi la réduction des systèmes de contact (qui, localement, sont en correspondence bijective avec les équations non-autonomes de Hamilton-Jacobi) et les systèmes Hamiltonians dépendants de temps. Dans le deuxième chapitre nous étudions les propriétés géométriques des quotients de variétés Sasaki et Kähler. Nous construisons une procédure de réduction pour les variétés symplectiques et Kähler (munies de symétries générées par un groupe de Lie) qui utilise les préimages rayon de l'application moment. Précisémmant, au lieu de considérer comme dans la réduction de Marsden-Weinstein (ponctuelle) la préimage d'une valeur moment $\mu$, nous utilisons la préimage de $\RR^+\mu$, le rayon positif de $\mu$. Nous avons trois motivations pour développer cette construction. Une est géométrique: la construction des espaces réduits de variétés Kähler correspondant á un moment non nulle qui soient canoniques dans le sense que la structure Kähler réduite est la projection de la structure Kähler initiale. La réduction ponctuelle (Marsden-Weinstein) donnée par $M_\mu:=J^{-1}(\mu)/G_\mu$ où $\mu$ est une valeur de l'application moment $J$ et $G_\mu$ est le sous-groupe d'isotropie de $\mu$ par rapport à l'action coadjointe de $G$ n'est pas toujours bien définie dans le cas Kähler (si $G\neq G_\mu$). Le problème est causé par le fait que la structure complexe de $M$ ne préserve pas la distribution horizontale de la submersion Riemannienne qui projète $J^{-1}(\mu)$ sur $M_\mu$. La solution proposée dans la litterature utilise l'espace réduit à moment zéro de la difference symplectique de $M$ avec l'orbite coadjointe de $\mu$ munie d'une forme Kähler-Einstein unique (construite par exemple dans \cite{besse}, Chapitre $8$) et différente de la forme de Kostant-Kirillov-Souriau. L'unicité de la forme sur l'orbite coadjointe garantit un espace réduit bien défini. Par contre, ne plus utiliser la forme de Kostant-Kirillov-Souriau entraîne le fait que l'espace réduit n'est plus canonique. L'espace réduit rayon que nous construisons est canonique et peut être défini pour tout moment. Il est le quotient de $J^{-1}(\RR^+\mu)$ par rapport à un certain sous-groupe normal de $G_\mu$. La deuxième raison est une application à l'étude des systèmes Hamiltonians conformes (voir \cite{mclachlan--perlmutter}). Ce sont des systèmes mécaniques non-autonomes, avec friction dont les courves intégrales préservent, dans le cas des symétries, les préimages rayons de l'application moment. Nous extendons la notion de champ Hamiltonian conforme, en montrant qu'on peut ainsi inclure dans cet étude de nouveaux systèmes mécaniques. également, nous présentons la réduction de systèmes Hamiltonians conformes. La troisième raison consiste à trouver des conditions necéssaires et suffisantes pour que les espaces réduits (rayons) des variétés Kähler (Sasakian)-Einstein soient aussi Kähler (Sasakian)-Einstein. Nous nous occupons de cela dans le deuxième chapitre de la thèse, dans \cite{dragulete--ornea} et dans \cite{dragulete--doi} où nous utilisons des techniques de A. Futaki. Ainsi, nous pouvons construire de nouvelles structures de Sasaki-Einstein. Comme exemples de réductions rayon symplectic (Kähler) et contact (Sasaki) nous traitons le cas des fibrés cotangent et cosphérique. Nous montrons qu'ils sont des espaces universels pour la réduction rayon. Des exemples d'actions toriques sur des sphères sont aussi décrits. Le troisième chapitre de cette thèse traite l'étude de l'espace des orbites d'un groupoïde propre. Dans \cite{weinstein--unu}, \cite{weinstein--doi} A. Weinstein a partiellement résolu le problème de la linéarisation des groupoïdes propres. En \cite{zung}, N. T. Zung l'a achevé en démontrant un théorème de type Bochner pour les groupoïdes propres. Nous prouvons un théorème de stratification de l'espace d'orbites d'un groupoïde propre en utilisant des idées de la théorie des foliations et le théorème de "slice" (linéarisation) de Weinstein et Zung. Nous montrons explicitement que le feuilletage orbital d'un groupoïde propre est un feuilletage Riemannien singulier dans le sense de Molino. Pour cela nous avons deux motivations. D'un côté nous voulons montrer qu'il y ait une équivalence entre groupoïdes propres et "orbispaces" (des espaces qui sont localement des quotiens par rapport à l'action d'un groupe de Lie compact) et d'un autre nous voulons étudier la réduction des actions infinitésimales (actions d'algèbres de Lie) qui ne sont pas intégrables à l'action d'un groupe de Lie. Ces actions et leur intégrabilité ont été étudiées, entre autres, par Palais (\cite{palais}), Michor, Alekseevsky.
Loading...