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Université Henri Poincaré - Nancy I (04/12/2007), Hugues Garnier (Dir.)
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Contributions à l'identification de modèles avec des erreurs en les variables
Stéphane Thil1

La procédure d'identification consiste à rechercher un modèle mathématique adéquat pour un système donné à partir de données expérimentales et de connaissances disponibles a priori. La majorité des techniques ont été développées sous l'hypothèse d'un signal d'entrée parfaitement connu. Or, dans certains cas, celui-ci est également mesuré avec un capteur, et sa connaissance est autant sujette à erreur que celle de la sortie. C'est cette dernière situation où l'entrée et la sortie du système sont entachées de bruits -- nommée identification de modèles avec des erreurs en les variables (EIV) - qui est étudiée.
Le chapitre d'introduction permet de motiver l'intérêt porté aux modèles EIV. Le problème est ensuite formellement posé, avant la mise en évidence de quelques-unes des difficultés qui lui sont inhérentes.
Le second chapitre traite de l'identification de modèles à temps discret, et est lui-même divisé en deux parties. La première partie s'intéresse aux méthodes utilisant les statistiques d'ordre deux. Après avoir exposé les principales méthodes existantes, une présentation unifiée des méthodes de compensation du biais de l'estimateur des moindres carrés est donnée. Différents estimateurs fondés sur la technique de la variable instrumentale sont ensuite proposés. La seconde partie du chapitre porte sur les méthodes ayant recours aux statistiques d'ordre supérieur. Après un rapide état de l'art, les estimateurs des moindres carrés et des moindres carrés itératifs fondés sur l'équation du modèle, vérifiée par les cumulants, sont présentés. Enfin, le chapitre se conclut par l'obtention de l'expression de la matrice de covariance asymptotique de l'estimateur des moindres carrés fondés sur les cumulants d'ordre trois, proposé auparavant.
Le chapitre trois traite de l'identification de modèles EIV à temps continu. Si l'identification de modèles EIV à temps discret a fait l'objet de nombreux travaux au cours des dernières années, le cas des modèles à temps continu n'a en revanche été que très peu étudié. Après avoir exposé l'intérêt particulier des méthodes directes d'identification de modèles à temps continu, un état de l'art est dressé, au cours duquel nous présentons sur les rares méthodes existantes. Des estimateurs ayant recours aux cumulants d'ordre trois et d'ordre quatre sont ensuite proposés. Ils permettent en particulier de s'affranchir des hypothèses structurelles sur les bruits en entrée et en sortie, et par conséquent de traiter le cas général de bruit colorés (et même mutuellement corrélés) en entrée et en sortie.
1:  CRAN - Centre de recherche en automatique de Nancy
Identification des systèmes – modèle avec des erreurs en les variables – modèle à temps continu – modèle à temps discret – statistiques d'ordre supérieur

Contributions to errors-in-variables model identification
System identification is an established field in the area of system analysis and control. It aims at determining mathematical models for dynamical systems based on measured data. Most of the techniques that have been developed assume the input signal to be perfectly known. However, there are cases when the input signal is measured, and thus also noise-corrupted. This situation, where the input signal and the output signal are both affected by noises -- named `errors-in-variables' (EIV) model identification -- is considered in the thesis.
In the introduction chapter, the use of EIV models is motivated. The problem considered is then formally stated, before underlining some of its inherent difficulties.
The second chapter deals with the identification of discrete-time EIV models, and is itself divided into two parts. The first part is about methods based on second-order statistics. In a first step, the main existing methods are recalled. A unified presentation of the various methods that aim at compensating the bias of the least squares estimate is then given. Afterwards, instrumental variable estimators are studied and a few estimators are proposed. The second part of the chapter deals with methods based on higher-order statistics. After a summary of the available methods, the least squares and iterative least squares methods are introduced, using the fact that the equation of the model is verified by the cumulants. The chapter ends with the computation of the expression of the asymptotic covariance matrix of the least squares estimate based on the third-order cumulants, that has been proposed earlier.
The third chapter is dedicated to the identification of continuous-time EIV models. While the identification of discrete-time errors-in-variables models has been extensively studied, continuous-time EIV model identification is still in its infancy. The interest of the direct identification of continuous-time models is first underlined. A review of the few available methods is given, and then estimators using the third- and fourth-order cumulants are proposed. In particular, since no structural hypothesis on the noises is required, they allow to handle the general case of coloured (and even mutually correlated) noises on input and output of the system.
System Identification – errors-in-variables model – continuous-time model – discrete-time model – higher-order statistics

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