Exact results on two-dimensional loop models

Résultats exacts sur les modèles de boucles en deux dimensions

Yacine Ikhlef (1, 2)

1 LPTMS - Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques
2 SPhT - Service de Physique Théorique

Using analytical and numerical methods of two-dimensional Statistical Mechanics (transfer matrix, conformal invariance, Coulomb gas, Yang-Baxter equations, Bethe Ansatz, Monte-Carlo), we tackle some problems which do not belong to the scope of the compact Gaussian model : critical antiferromagnetic Potts model, Brauer loop model. These models exhibit original critical properties, such as the appearance of non-compact degrees of freedom. These properties arise when one introduces loop intersections or staggered Boltzmann weights in the lattice loop model. In the case of the antiferromagnetic Potts model, we develop the study of the Yang-Baxter structure, and identify a family of Bethe states corresponding to the non-compact degrees of freedom. Numerical calculations for large system sizes allow us to state a conjecture about the scaling law for the effective compactification radius. In the case of the Brauer model with loop fugacity n = 0, we propose a model for a scale-invariant escape path, and we determine its critical properties by numerical methods. As a non-local observable, the escape path gives a characterization of similarities with and differences from random walks.

En utilisant les méthodes analytiques et numériques de la Physique Statistique bidimensionnelle (matrice de transfert, invariance conforme, gaz de Coulomb, équations de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe, Monte-Carlo), nous abordons des problèmes qui n'entrent pas dans le cadre du modèle gaussien compact : modèle de Potts antiferromagnétique critique, modèle de boucles de Brauer. Ces modèles présentent des propriétés critiques originales, comme l'apparition de degrés de liberté non-compacts. Ces propriétés apparaissent quand on introduit, dans le modèle de boucles sur réseau, des intersections entre les boucles ou une alternance des poids de Boltzmann entre les sous-réseaux. Dans le cas du modèle de Potts antiferromagnétique, nous développons l'étude de la structure issue des équations de Yang-Baxter, et nous identifions une famille d'états de Bethe associés aux degrés de liberté non-compacts. Les calculs numériques sur de grandes tailles de système permettent de conjecturer la loi d'échelle du rayon de compactification effectif. Dans le cas du modèle de Brauer avec une fugacité de boucles n = 0, nous proposons un modèle de chemin d'échappement invariant d'échelle, et nous déterminons ses propriétés critiques par des méthodes numériques. En tant qu'observable (non-locale), le chemin d'échappement caractérise les points communs et différences avec les marches aléatoires.

Mots clés: Critical Phenomena; Transfer matrix; Conformal invariance; Coulomb Gas; Yang-Baxter equations; Bethe Ansatz; Potts Model; O(n) model; Loop model

Mots clés: Phénomènes critiques; Matrice de transfert; Invariance conforme; Gaz de Coulomb; Equations de Yang-Baxter; Ansatz de Bethe; Monte-Carlo; Modèle de Potts; Modèle O(n); Modèle de boucles

Domaines: Physique mathématique [math-ph]

Yacine Ikhlef. Résultats exacts sur les modèles de boucles en deux dimensions. Physique mathématique [math-ph]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00268765⟩