Fiche détaillée

Thèses

Université Henri Poincaré - Nancy I (09/11/2007), Bernard Roynette (Dir.)

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Pénalisations de marches aléatoires

Pierre Debs1, 2

Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité. La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail: Soit $\left(\Omega,\,\left(X_n,\,\mathcal F_n,\,n\geq0\right),\mathcal F_\infty=\bigvee_{n\geq0}\mathcal F_n,\,\p\right)$ la marche aléatoire symétrique où $\mathcal F_n$ est la filtration canonique. Pour des fonctionnelles positives et adaptées $G:\mathbb N\times\Omega\time\Omega\rightarrow\mathbb R^+$, j'étudie $\forall n\in\mathbb N,\,\forall\Lambda_n\in\mathcal F_n$, la limite quand $p\rightarrow\infty$ de la quantité: \begin{equation*} \frac{\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}G_p]}{\e_x[G_p]} \end{equation*} Quand cette limite existe, elle est égale à $Q\left(\Lambda_n\right):=\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}M_n]$ où $\left(M_n,n\geq0\right)$ est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de $Q$ induit une nouvelle probabilité sur $\left(\Omega,\,\mathcal F_\infty\right)$ et on étudie alors $\left(X_n,n\geq0\right)$ sous $Q$. Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel. Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.}

1 :	IECN - Institut Elie Cartan Nancy
2 :	INRIA Sophia Antipolis / INRIA Lorraine / IECN - TOSCA

mots-clés : temps de séjour – Formule de Dynkin – Marches aléatoires – Mouvement brownien avec drift – Processus et chaînes de Bessel – Changement de probabilité.

The subject of my thesis is the theory of penalisation originaly developed by B .Roynette, P. Vallois and M. Yor in the case of the brownian motion. In a few words, it consists in putting a weight on the probability measure to favorise trajectories with probability measure equals to zero. The first part of my thesis is the discrete counterpart of their work: let $\left(\Omega,\,\left(X_n,\,\mathcal F_n,\,n\geq0\right),\mathcal F_\infty=\bigvee_{n\geq0}\mathcal F_n,\,\p\right)$ the symmetric random walk where $\mathcal F_n$ is the canonical filtration. For some adapted and positive functionals $G:\mathbb N\times\Omega\time\Omega\rightarrow\mathbb R^+$, I study $\forall n\in\mathbb N,\,\forall\Lambda_n\in\mathcal F_n$, the limit when $p\rightarrow\infty$ of the quantity: \begin{equation*} \frac{\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}G_p]}{\e_x[G_p]} \end{equation*} When this limit exists, it is equal to $Q\left(\Lambda_n\right):=\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}M_n]$ where $\left(M_n,n\geq0\right)$ is a positive non uniformly integrable martingale. The definition of $Q$ induces a new probability on $\left(\Omega,\,\mathcal F_\infty\right)$ and then I study $\left(X_n,n\geq0\right)$ under $Q$. In a second part, I try to expend this theory to birth and death Markov processes. Recall that these processes have the property that, after an exponential random length of time, only transitions to neighbouring states are possible. Precisely, I penalize the distribution of the transient birth and death process by the number of visits at the state 0 (which is like local time type penalization). When I force the process to visit an infinitely often the state zero %it is reasonable to think that what I get is a recurrent chain. Indeed, I prove that, under the new probability measure induced by penalization, the process behaves as a recurrent birth and death process.

mots-clés en anglais : Dynkin's formula – random walk – Brownian motion with drift – Bessel chain and process – change of probability.

tel-00267086, version 1

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00267086

oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00267086

Contributeur : Pierre Debs <>

Soumis le : Mercredi 26 Mars 2008, 14:28:24

Dernière modification le : Mardi 7 Juin 2011, 09:49:18