Some functional and nonfunctional aspects of large and moderate deviations in nonparametric estimation

Quelques aspects fonctionnels et non fonctionnels des grandes déviations et des déviations modérées en estimation non-paramétrique

Sidi Mohamed Ould Maouloud (1, 2)

1 LMR - Laboratoire de Mathématiques de Reims
2 LSTA - Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée

This thesis deals with functional and nonfunctional spects of large and moderate deviation in nonparametric function estimation. We introduce a process which allows to derive in an unified way pointwise and functional large deviation principles and pointwise and uniform Chernoff type results for the density and regression function estimates. In first step, we establish a functional large deviations principle for the kernel estimate of the regression function indexed by a family of functions satisfying Arzèla-Ascoli conditions. Subsequently, the results have been applied to define a large deviations selection model criterion. In the second part, we investigate large deviation behaviours related to the density and regression function estimates using the histogram method. Here, large deviation principles, ponitwise and uniform chernoff type results as well as minimax bounds for both estimates have been stated. In the two last chapters, functional large deviation principles in the $L^1$-space endowed with the weak topology for the delta sequences density and regression function estimates as well as a functional moderate deviations principle for the histogram density estimate have been stated.

Cette thèse traite quelques aspects fonctionnels et non fonctionnels des grandes déviations et des déviations modérées en estimation fonctionnelle. Nous avons introduit dans la première partie un processus qui nous a permis de traiter de façon unifiée l'estimation de la fonction de densité et de la fonction de régression en utilisant plusieurs méthodes d'estimation. Plus explicitement, des principes de grandes déviations fonctionnels et non fonctionnels et des résultats de type Chernoff ponctuels et uniformes ont été obtenus. Dans un premier lieu nous avons établi un principe fonctionnel de grandes déviations pour l'estimateur par la méthode du noyau de la fonction de régression indexé par une famille de fonction vérifiant les conditions du théorème d'Arzèla-Ascoli. Ces résultats ont été utilisés pour définir un critère de sélection de modèles. Par la suite, dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressé à 'estimation de la fonction de densité et de la fonction de régression par la méthode des histogrammes et nous avons obtenu des principes de grandes déviations ponctuels, des résultats de type Chernoff ponctuels et uniformes pour ces estimateur ainsi que des résultats de type minimax. Enfin dans les deux dernières parties, nous avons établi des principes fonctionnels de grandes déviations dans l'espace $L^1$ pour les estimateurs par la méthode des delta-suites des fonctions de densité et de régression ainsi qu'un principe de déviations modérées dans $L^1$ pour l'estimateur de la fonction de densité par la méthode des histogrammes.

Mots clés: grandes déviations; déviations modérées; estimation de la densité; estimation de la fonction de régression; delta-suite; méthode du noyau; méthode des histogrammes; large deviations; moderate deviations; density estimation; regression estimation; delta-sequences; kernel method; histogram method

Domaines: Mathématiques [math]

Sidi Mohamed Ould Maouloud. Quelques aspects fonctionnels et non fonctionnels des grandes déviations et des déviations modérées en estimation non-paramétrique. Mathématiques [math]. Université de Reims - Champagne Ardenne, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00266890⟩