Utilisation de la méthode d'équivalence de Cartan dans la construction d'un solveur d'équations différentielles - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2007

Utilization of Cartan's equivalence method in the construction of an ODE solver

Utilisation de la méthode d'équivalence de Cartan dans la construction d'un solveur d'équations différentielles

Résumé

Current ODE-solvers make use of a combination of symmetry methods and classification methods. Classification methods are used when the ODE matches a recognizable pattern (that is, for which a solving method is already implemented), and symmetry methods are reserved for the non-classifiable cases. Using symmetry methods, the solvers first look for the generators of 1-parameter symmetry groups of the given ODE, and then use this information to integrate it, or at least reduce its order. In practice, present solvers are often unable to return closed form solution. The the aim of this thesis is to propose an algorithm for a new ODE-solver, based on Cartan's equivalence method, which should improve the abilities of current solvers to handle second order differential equations. The thesis provides also a theoretical result revealing the relationship between the change of coordinates, that maps the generic equation to a given target equation, and the symmetry pseudo-group of this target.
L'implantation actuelle des solveurs d'équations différentielles combine les deux méthodes de classification et de réduction d'ordre. La méthode de classification consiste à tester si l'équation à résoudre figure, modulo un renommage des variables, dans une liste d'équations que l'on sait résoudre. La méthode de réduction d'ordre, basée sur l'analyse des symétries de Lie, est réservée aux équations qui ne font pas partie de cette liste.

En pratique, plusieurs difficultés apparaissent. Tout d'abord, le calcul des quadratures ainsi que l'intégration des systèmes d'EDP (même linéaires) n'est pas chose facile. De ce fait, il arrive souvent que le solveur se contente de retourner en sortie des résultats partiels, en particulier lorsque la dimension du (pseudo)groupe de symétries de l'équation à résoudre est petite. Enfonçons le clou : lorsque cette dimension est nulle, les solveurs, tel qu'il sont conçus actuellement, sont incapables d'intégrer ou même de réduire l'ordre de l'équation.

Cette thèse s'inscrit donc dans l'effort d'amélioration des solveurs actuels. Nous allons présenter et montrer la faisabilité d'une architecture, totalement nouvelle, pour la conception d'un solveur d'équations différentielles basé sur la méthode d'équivalence de Cartan. Notre solveur utilise les invariants différentiels produits par la méthode de Cartan pour détecter l'existence d'une équation différentielle de la liste de Kamke, équivalente à l'équation que l'on veut résoudre et calculer le changement de variables qui réalise cette équivalence.

Ceci dit, le calcul du changement de variables est une question qui peut être délicate. En général, il est solution d'un système d'EDP. Nous montrons que lorsque le pseudo-groupe des transformations autorisées est choisi tel que le pseudo-groupe de symétries de l'équation cible est discret, intuitivement, le changement de variables s'obtient sans intégrer d'équations différentielles uniquement en résolvant des équations algébriques.
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Dates et versions

tel-00264288 , version 1 (14-03-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00264288 , version 1

Citer

Raouf Dridi. Utilisation de la méthode d'équivalence de Cartan dans la construction d'un solveur d'équations différentielles. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00264288⟩
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