Mathematical analysis and numerical simulations for a predator-prey model in heterogeneous insular environments
Analyse mathématique et simulations d'un modèle prédateur-proie en milieu insulaire hétérogène
Résumé
The aim of this thesis is to develop and analyse deterministic predator-prey models for species living in heterogeneous insular environments. We are interested in the evolution of a native prey population, after the introduction of alien species, predators and competitors. In a first part we look at the spatially unstructured models; this yields singular systems of ODEs, some denominator of the RHS can be zero. The mathematical analysis gives some conditions for persistence or finite time extinction of populations. The asymptotical behaviour depends on additional hypotheses. In a similar way, we study the case of a native prey species split into 2 age stages: juveniles and adults. The second part deals with spatial models. We derive models taking into account the spatial heterogeneities of the environment and their effects on demographic parameters. We use reaction-diffusion systems with a singular logistic right hand side. Detailed analysis of these models gives criteria for global existence versus finite time existence of the solutions. At the same time, we develop a well adapted numerical method, using splitting methods, to validate the spatial models and allow the study of invasion processes. Numerical results point out the essential role played by the introduced prey population in successful invasion of isolated native preys colonies by the predator species. Finally, the discrete age structure for the native species allows us to exhibit oscillatory behaviours.
L'objet de cette thèse est la construction, l'étude mathématique et numérique de modèles déterministes pour des systèmes Proie-Prédateur en milieu insulaire hétérogène. Il s'agit d'évaluer les effets de l'introduction d'espèces invasives, prédateurs et compétiteurs, sur une population de proies natives. La première partie présente l'étude de modèles faiblement structurés, bas´es sur des systèmes d'E.D.O. singuliers, le dénominateur d'un des termes de réaction pouvant s'annuler. L'analyse mathématique permet d'isoler des conditions d'extinction en temps fini ou de persistance. Dans ce second cas, le comportement en temps long dépend d'hypothèses supplémentaires. Une étude similaire est menée dans le cadre d'une population de proies natives structurée en 2 classes d'âge : juvéniles et adultes. Dans la seconde partie, on étend les modèles précédents au cadre avec structuration en espace, pour prendre en compte les hétérogénéités spatiales du milieu. On obtient des systèmes d'E.D.P. du type Réaction-Diffusion singuliers. Une analyse approfondie donne des critères d'existence globale en temps et d'existence sur un intervalle de temps fini des solutions. Parallèlement, nous mettons en place une méthode numérique du type splitting d'opérateurs dans un but double : valider les modèles spatiaux et étudier des processus d'invasion. Les simulations numériques permettent d'établir le rôle fondamental des proies introduites dans le succès de l'invasion par les prédateurs de colonies isolées de proies natives. Enfin, la structuration discrète en âge pour les proies natives permet d'exhiber des dynamiques oscillatoires.