Orbits of a Borel subgroup in the product of two grassmannians
Orbites d'un sous-groupe de Borel dans le produit de deux grassmanniennes
Résumé
Let $X$ be the direct product of two grassmannians of $k$- and $l$-planes in a finite-dimensional vector space $V$. We study the orbits of a Borel subgroup $B \subset {\rm GL}(V)$ acting diagonally on $X$, as well as their Zariski closures, in analogy with Schubert cells and Schubert varieties in grassmannians. One easily shows that the number of these orbits is finite. Their combinatorial description was obtained by P. Magyar, J. Weyman, and A. Zelevinsky. We obtain a criterion to check whether an orbit lies in the closure of another one. We also construct a resolution of singularities for the closures of these orbits, which is analogous to the Bott-Samelson desingularizations of Schubert varieties.
Soit $X$ le produit direct de deux grassmanniennes des sous-espaces de dimensions $k$, $l$ d'un espace vectoriel $V$. Nous étudions les orbites d'un sous-groupe de Borel $B$ de GL($V$) opérant diagonalement dans $X$, et les adhérences de Zariski de ces orbites, en analogie avec les cellules et les variétés de Schubert dans les grassmanniennes. On vérifie sans pein que ces orbites sont en nombre fini. Elles ont été décrites de façon combinatoire par P. Magyar, J. Weyman et A. Zelevinsky. Nous obtenons un critère pour l'inclusion d'une orbite dans l'adhérence d'une autre orbite, et nous construisons une résolution de ces adhérences d'orbites, analogue aux désingularisations de Bott-Samelson des variétés de Schubert.
Mots clés
Spherical varieties
grassmannians
multiple<br />flag varieties
quiver representations
Schubert decomposition
Bott-Samelson desingularization
Auslander-Reiten quiver
Variétés sphériques
grassmanniennes
variétés de drapeaux multiples
représentations de carquois
décomposition de Schubert
désingularisation de Bott-Samelson
carquois d'Auslander-Reiten