Existence, stability and instability of standing waves for nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon equations
Existence, stabilité et instabilité d'ondes stationnaires pour quelques équations de Klein-Gordon et Schrödinger non linéaires
Résumé
This thesis is devoted to the study of standing waves for nonlinear dispersive equations, in particular the Schrödinger equation but also the Klein-Gordon equation. The works are organized around two main issues : existence and orbital stability of standing waves.
The existence is essentially studied by the way of variational methods. We exhibit various variational characterizations of standing waves, for example as critical points of some functional at the mountain pass level or at the least energy level, or as minimizers of a functional under various constraints.
Depending on the strength of the nonlinearity and on the space dependency, we prove that stability or instability holds for the standing waves. When instability holds, we show that, in some situations, instability occurs by blow up, whereas in other cases the solutions are globally well-posed. In addition to the variational characterization of waves, the study of stability leads us to derive spectral informations. In the first part of this thesis, we show a nondegenerescence result for the linearized operator associated with a limit problem. In the second part, we localize the second eigenvalue of the linearized by the mean of a combinaison of perturbation and continuation arguments.
The existence is essentially studied by the way of variational methods. We exhibit various variational characterizations of standing waves, for example as critical points of some functional at the mountain pass level or at the least energy level, or as minimizers of a functional under various constraints.
Depending on the strength of the nonlinearity and on the space dependency, we prove that stability or instability holds for the standing waves. When instability holds, we show that, in some situations, instability occurs by blow up, whereas in other cases the solutions are globally well-posed. In addition to the variational characterization of waves, the study of stability leads us to derive spectral informations. In the first part of this thesis, we show a nondegenerescence result for the linearized operator associated with a limit problem. In the second part, we localize the second eigenvalue of the linearized by the mean of a combinaison of perturbation and continuation arguments.
Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires.
L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.
Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des
ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.
L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.
Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des
ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.