Mathematical and numerical modelling of the humain lung
Modélisation mathématique et numérique du poumon humain
Résumé
The aim of this thesis is to give a multi-compartment model of the human lung. We propose a decomposition of the respiratory tree into three stages: a proximal part, the trachea and the first generations of bronchial tubes (around the fifth or the sixth one). In this part, we make direct simulations of the Navier-Stokes equations. A medium part, corresponding to the complex geometrical part of the bronchial tree. This part is a network of tubes of low diameters and the flow is linear, viscous and incompressible, described by the Stokes equations and regulated by the pressure gradient between the inlets and the outlets. This makes it possible to condense this part and to replace it by an equivalent single tube. The last compartment corresponds to the alveolar part and we model the diaphragm action by a spring displacement. We make direct simulations of Navier-Stokes equations in the upper part and condense the last two parts in a new boundary condition, so this multi-compartment approach avoids to mesh the complex geometrical part of the tree. First of all, we study the coupling of the two first compartments in the particular case of Stokes equations, we explain how to give a condensed equivalent to the medium part and make numerical simulations to validate this coupling. Then, we generalize the study to the Navier-Stokes equations. The main difficulty is to control the kinetic energy flux; we introduce particular boundary conditions, dissipative essential conditions, and prove the existence of weak solutions, locally in time for large data, and globally in time for small enough data. In the context of natural boundary conditions, the existence of locally in time solutions for small data, and globally in time solutions for smaller data, are proved, but in the two-dimensional case only. However, if we handle with a more regular class of solutions, we prove the existence and uniqueness of a weak solution locally in time for large data, and the existence globally in time for small data. For the global model incluging the spring we prove the existence of weak solutions, locally in time for large data in the case of essential boundary conditions, while we prove the existence of weak solutions, locally in time for small data in the two-dimensial case for the natural boundary conditions. Finally, we give a time discretization of the globally coupled model and prove that the discrete energy balance is of order one. We present some two-dimensional simulations for both a healthy and an ill lung (asthma).
Nous proposons un modèle mathématique intégré du poumon dont l'approche globale repose sur une modélisation multibloc. En effet, on décompose en trois niveaux l'arbre bronchique qui s'étend sur vingt quatre générations de bronches allant de la trachée aux alvéoles. Au premier niveau (les six premières générations), a lieu un écoulement de Navier-Stokes, qui est simulé directement. Au deuxième niveau (de la génération sept à la génération dix sept), les flux à travers les bronches sont régis par la loi de Poiseuille. La linéarité de cette loi nous permet de condenser cette partie de l'arbre et de proposer des conditions aux bords dissipatives adaptées à la similation de la ventilation et permettant d'éviter le maillage de cette partie géométriquement complexe. Le dernier niveau du modèle, prend en compte la partie distale de l'arbre qui est la zone alvéolaire. Elle est composée des acini, qui agissent comme un ensemble de petites pompes et dont l'effet macroscopique est le moteur même de la respiration. A ce niveau, on propose les déplacements d'un piston comme modèle simplifié des mouvements du diaphragme pulmonaire. Dans un premier temps, on se place dans le cadre particulier des équations de Stokes et on s'intéresse au couplage des deux premiers compartiments, dont la validité est illustrée par des tests numériques. On explique également le calcul de la résistance globale équivalente qui intervient dans le calcul de la condition aux limites qui remplace la zone condensée. L'étude est ensuite généralisée au cas des équations de Navier-Stokes. La difficulté réside dans le contrôle du flux d'énergie cinétique, on introduit alors une classe de conditions aux limites, qu'on désigne par dissipatives essentielles, pour lesquelles la trace du champ de vitesse sur les sections d'entrée et de sorties vit dans un espace de dimension fini, et pour lesquelles on prouve des résultats d'existence de solutions faibles locales en temps pour données quelconques et globales en temps pour données petites. Pour le cas de conditions dites dissipatives naturelles, c'est à dire sans contrainte sur la trace du champ de vitesse, on a existence de solutions faibles locales en temps pour données petites et globales en temps pour données plus petites, mais seulement en dimension deux. Cependant, on prouve pour ces conditions aux limites, que pour une classe de solutions plus régulières on a l'existence d'une unique solution locale en temps ainsi que l'existence d'une solution globale en temps pour données petites. Pour le couplage global, incluant le piston, on prouve l'existence de solutions faibles locales en temps pour des données quelconques en ce qui concerne les conditions aux limites dissipatives essentielles, tandis que pour les conditions dissipatives naturelles, on obtient l'existence de solutions locales en temps pour données petites et toujours seulement en dimension deux. Finalement, on propose une discrétisation en temps du problème global et on établit un bilan énergétique à l'ordre 1 pour le problème régulier en espace et discrétisé en temps. Nous présentons ainsi plusieurs simulations numériques bi-dimensionnelles correspondants aussi bien à un poumon sain que pathologique et notamment asthmatique.