Reconstruction, Détection et Régularisation de Données Discrètes
Résumé
This thesis deals with the problems of structuring and processing discrete data, organized or not. It is organized into two parts. The first part deals with the structuration of data represented by sets of points of the Euclidean plane or space. In this context, we consider the problems of the polygonal reconstruction of planar curves and the detection geometric 3D shapes. These two problems are handled by computational and combinatorial geometry techniques, based on the Voronoi diagram and the Delaunay triangulation. In the context of planar curve reconstruction, we propose a hierarchical family of subgraphs of the Gabriel graph, which we call the local beta-crusts. We study the properties of this family, which allow us to design a simple curves reconstruction algorithm. Then, we propose a method for detecting known shapes from a set of 3D points, embedded or not into a noisy background. This method is based on an extension of the alpha-shapes, generated from ellipsoidal balls. In a second part, we treat the problem of data regularization by discrete variational methods on weighted graphs of arbitrary topology. For this, we propose a broad family of discrete functionals, based on the L2 and Lp norms of the graph gradient. This leads to several linear and nonlinear diffusion processes on graphs. This formalism is applied to smooth, to restore, and to simplify discrete images, meshes and non-organized discrete data.
Cette thèse traite des problématiques de structuration et de traitement de données discrètes organisées ou non. Elle se décompose en deux parties. La première partie concerne la structuration de données représentées par des ensembles de points du plan ou de l'espace Euclidien. Dans ce contexte, nous considérons les problèmes de la reconstruction polygonale de courbes planaires et de la détection de formes géométriques 3D connues. Ces deux problèmes sont traités par des techniques de géométrie algorithmique et combinatoire, basées sur le diagramme de Voronoï et la triangulation de Delaunay. Dans le cadre de la reconstruction de courbes planaires, nous proposons une famille hiérarchique de sous-graphes du graphe de Gabriel, que nous appelons les beta-CRUSTS Locaux. Nous étudions les propriétés de cette famille, qui nous permettent de concevoir un algorithme de reconstruction des courbes simples. Ensuite, nous proposons une méthode de détection de formes géométriques connues à partir d'un ensemble de points 3D (nous nous restreignons au cas des structures linéaires et planaires), plongés dans un milieu bruité ou non. Cette méthode est basée sur une extension des alpha-formes, générées à partir de boules ellipsoïdales. Dans une deuxième partie, nous traitons le problème de la régularisation de données par des méthodes variationnelles discrètes sur graphes pondérés, de topologie quelconque. Pour cela, nous proposons une large famille de fonctionnelles discrètes, basées sur les normes L2 et Lp du gradient. Ceci conduit à des processus de diffusion linéaire ou non-linéaire sur graphes. Ce formalisme étend un certain nombre de modèles variationnels, que nous appliquons à des problèmes de restauration, de lissage, et de simplification d'images et de maillages.