Large-time asymptotic behaviour of viscous bidimensional fluids.

Comportement en temps long des fluides visqueux bidimensionnels.

Luis Miguel Miguel Rodrigues (1)

1 IF - Institut Fourier

This report investigates the long-time asymptotic behaviour of viscous bidimensional fluids, either homogeneous or weakly-inhomogeneous. Regarding homogeneous fluids, Thierry Gallay and C. Eugene Wayne have shown the major role of a family of self-similar solutions, the Oseen vortices, which attracts any solution of the Navier-Stokes equation with a finite measure as initial vorticity and non-zero circulation. Their result is non-explicit and the first task of this report is to make it explicit, getting this way a bound for the time-life of bidimensional turbulence. Then is shown the asymptotic stability of the Oseen vortices as density-dependent fluids, which also enables one to recover the result of Gallay and Wayne for slow weakly-inhomogeneous incompressible fluids. At last, it is proved that slow weakly-inhomogeneous compressible fluids, with zero circulation, behave asymptotically mainly as homogeneous fluids.

Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.

Mots clés: Fluid mechanics; partial differential equations; Navier-Stokes equations; asymptotic dynamics; homogeneous flows; density-dependent incompressible flows; compressible flows; weak inhomogeneity; vorticity formulation; Oseen vortices; scaling invariance; self-similar variables; bidimensional turbulence; asymptotic stability; artificial viscosity.

Mots clés: invariance d'échelle; variables auto-similaires; turbulence bidimensionnelle; stabilité asymptotique; viscosité artificielle; Mécanique des fluides; équations aux dérivées partielles; équations de Navier-Stokes; dynamique asymptotique; écoulements homogènes; écoulements incompressibles à densité variable; écoulements compressibles; formulation tourbillon; tourbillons d'Oseen; viscosité artificielle.

Domaines: Mathématiques [math]

Luis Miguel Miguel Rodrigues. Comportement en temps long des fluides visqueux bidimensionnels.. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00200818⟩