On the asymptotic collapse of asymptotically flat manifolds.
Sur l'effondrement à l'infini des variétés asymptotiquement plates.
Résumé
This PhD thesis deals with the asymptotic geometry of complete non compact Riemannian manifolds with fast curvature decay at infinity. In order to supplement previous works, it concentrates on the case where the volume growth is non maximal, namely strictly slower than in the Euclidean space of the corresponding dimension. First, a weighted Sobolev inequality and a Hardy inequality are proved, leading to numerous generalizations of well known facts in the maximal volume growth setting. In particular, rigidity and topology finiteness theorems are proved for asymptotically flat Ricci flat manifolds. In a second part, the asymptotic structure of gravitational instantons is investigated : the main theorem asserts a gravitational instanton with cubic volume growth has the asymptotic geometry of a circle fibration over an asymptotically locally Euclidean manifold.
Cette thèse concerne la géométrie asymptotique de variétés riemanniennes complètes non compactes, dont la courbure tend vers zéro à l'infini, assez vite. Afin de compléter des travaux déjà existants, on s'attache à comprendre le cas où la croissance du volume est non maximale, c'est-à-dire strictement moins rapide que dans l'espace euclidien de même dimension. Dans ce contexte, on prouve tout d'abord une inégalité de Sobolev à poids et une inégalité de Hardy, qui permettent de généraliser nombre de résultats établis quand la croissance du volume est maximale. On obtient en particulier des résultats de rigidité et de finitude de la topologie pour des variétés Ricci plates et asymptotiquement plates. On obtient ensuite un résultat de structure asymptotique pour une classe d'instantons gravitationnels : typiquement, ceux qui ont une croissance du volume cubique sont asymptotes à des fibrations en cercles au-dessus d'une variété asymptotiquement localement euclidienne .