Spherical designs and their applications in statistics

Plans sphériques de force t et applications en statistique

Frédéric Bertrand (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

This work is made of two parts, a theorical one and an applied one, and is about the combined use of combinatoric and algebraic tools to design and analyze experiments. We lay the stress on polynomial characterizations of weakly invariant designs and set a framework to solve these systems of polynomial equations using real algebraic geometry and the link between the realstellensatz and semi definite programming tools. We focus too on the methodology of response surfaces and more especially on rotatable ones, which leads us to study intensively the designs whose support points lie on a sphere. The main advantages of this approach are its various potential applications, its automatic use and the computation of the exact coordinates of the support points of the designs as well as the complete computation of the aliasings. On the contrary, a numeric way of designing weakly invariant designs would miss our point since we would be unable to classify the designs up to an orthogonal isometry and to spotlight all the aliasings that will appear with Euclidean designs of small sizes. Yet, a minute and accurate knowledge of the aliasings is a major help for the practitioners since they will no longer be limited to use low degree polynomial models to analyze their datasets. Many rotatable designs are produced using this methodology. Their properties and the programs that were used to find them are also depicted.

Ce travail comporte deux parties, l'une théorique et l'autre pratique, et porte sur l'utilisation combinée d'outils combinatoires et algébriques pour la construction et l'analyse de plans d'expérience. Nous nous intéressons en particulier à des caractérisations polynomiales des propriétés d'invariance faible d'un plan expérimental et proposons une définition ainsi qu'un cadre de résolution d'un problème de construction de type polynomial à l'aide de la géométrie algébrique réelle et du lien entre l'optimisation semi-définie positive et le théorème des zéros réels. Nous nous intéresserons ici également à la méthodologie des surfaces de réponse et plus particulièrement à la propriété d'isovariance statistique, ce qui nous amène à étudier plus particulièrement des plans dont le support est inclus dans une sphère. Les principaux avantages de l'approche développée dans ce travail sont sa grande généralité, son automatisation et l'obtention des coordonnées exactes des points support du plan ce qui permet une détermination complète des confusions d'effets contrairement à la construction numérique de plans d'expérience euclidiens qui ne permet pas l'analyse exacte des confusions d'effets qui apparaissent nécessairement lorsque nous nous intéressons à des plans euclidiens de petite taille. Or une connaissance précise des confusions d'effets est nécessaire pour rendre possible l'utilisation de modèles polynomiaux qui ne seront plus limités au degré 2 comme c'est trop souvent le cas dans la théorie et dans la pratique. De nombreux exemples de construction de plans isovariants, l'étude de leurs caractéristiques ainsi que les programmes ayant permis d'obtenir ces résultats sont également présentés.

Mots clés: Mathematical Statistics; Algebraic Statistics; Design of experiments; Weakly invariant designs; Response surface; Variance surface; Polynomial characterizations; Gröbner bases; Semidefinite programming

Mots clés: Statistique mathématique; Statistique algébrique; Planification expérimentale; Invariance faible; Surface de réponse; Surface de variance; Caractérisations polynomiales; Bases de Gröbner; Programmation semi-définie positive

Domaines: Mathématiques [math]

Frédéric Bertrand. Plans sphériques de force t et applications en statistique. Mathématiques [math]. Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007. Français. ⟨NNT : 2007STR13123⟩. ⟨tel-00188330v3⟩