Rees ring and fiber cone

Algèbre de Rees et Fibre spéciale

Minh Lam Ha (1)

1 IF - Institut Fourier

This work is at the same time in Algebraic Geometry and Commutative Algebra. The first part of this thesis studies the Rees ring (blow--up ring) and the fiber cone of a lattice ideal of codimenson 2 in a polynomial rings. In the case where the ideal is generated by three or four elements, the defining equations of the Rees ring can be described explicitly. In the general case, we define the graph of syzygies of the ideal, and study it combinatorially. We obtain: 1/ The dimension of the fiber cone is 2 or 3. 2/ If the ideal is not a complete intersection, then the fiber cone is Cohen--Macaulay of dimension 3, reduced, of minimal degree, i.e the fiber cone has remarkable geometrical properties. An explicit presentation of the fiber cone is also given. 3/ The Rees ring is a Cohen--Macaulay ring generated by forms of degree at most 2. The second part of this thesis concerns the simplicial ideals introduced by Mr. Morales. Using combinatorial properties, we give a large class of binomial simplicial ideals with reduction number 1.

Ce travail se situe à la fois en Géométrie Algébrique et l'Algèbre Commutative. La premier partie de cette thèse est consacrée à l'anneau de Rees (blow-up ring) et la fibre spéciale d'un idéal de réseau de codimenson 2 dans un anneau de polynômes. Dans le cas où l'idéal est engendré par trois ou quatre éléments, une présentation explicite de l'anneau de Rees est donnée. Dans le cas général, nous définissons le graphe de syzygies de l'idéal, et l'étudions combinatoirement. Nous obtenons : 1/ La dimension de la fibre spéciale est 2 ou 3. 2/ Si l'idéal n'est pas une intersection complète, alors la fibre spéciale est Cohen--Macaulay de dimension 3, réduite, de degré minimal, i.e. la fibre spéciale a des propriétés géométriques remarquables. Une présentation explicite de la fibre spéciale est aussi donnée. 3/ L'anneau de Rees est Cohen--Macaulay, et engendré par des formes de degré au plus 2. La deuxième partie de la thèse est consacrée aux idéaux simpliciaux, introduits par M. Morales. En étudiant des propriétés combinatoires, nous donnons une large classe d'idéaux binômiaux simpliciaux pour lesquels le nombre de réduction est 1.

Mots clés: lattice ideal; Rees ring; fiber cone; variety of minimal degree; reduction number

Mots clés: variété torique; algèbre de Rees; fibre spéciale; variété de degré minimal; nombre de reduction

Domaines: Mathématiques [math]

Minh Lam Ha. Algèbre de Rees et Fibre spéciale. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00179342⟩