ON QUASILINEAR AND ANISOTROPIC ELLIPTIC SYSTEMS WITH SOBOLEV CRITICAL EXPONENTS

SUR LES SYSTEMES ELLIPTIQUES QUASI-LINEAIRES ET ANISOTROPIQUES AVEC EXPOSANTS CRITIQUES DE SOBOLEV.

Khalid Adriouch (1)

1 LMCA - Laboratoire de Mathématiques Calcul Asymptotique

The objective of this thesis is to study the existence, multiplicity and the behaviour of positive solutions to some systems involving the p-Laplacian or the anisotropic operators either in subcritical and critical cases.
In the 1st chapter we are interested in the following system (S):
\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{lll}
\Delta_p u&=& f(x,u,v), \quad\mbox{dans}\quad\Omega\\
\Delta_q v&=& g(x,u,v), \quad\mbox{dans}\quad\Omega
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
with $f$ and $g$ present two subcritical terms. We construct two Palais-Smale sequences on the Nehari manifold converging strongly in $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ to two different positive solutions.
In the 2nd chapter, we consider the same class of system (S) with critical conditions in $\mathbb{R}^N$. In the difference with the chapter 1, we find only one nonnegative solution and for $p=q$ we succeed to find another solution.
In the chapter 3, we generalize the study of Brézis-Nirenberg to an equation and then to a system of type (S). We give a more general definition to the notion of the critical level.
The last chapter deals with a new class of systems of anisotropic elliptic equations (power-like depends on the direction) with different powers,
so that the underlying functional-analytic framework involves aniotropic Sobolev spaces. We show the existence and regularity results of weak solutions of the system then an existence of a solution provided that the system has a sub and super-solution.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées
partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.
Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):
\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\
-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant
fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.
Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans
ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.
Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.
Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.

Mots clés: Nehari manifold; p-Laplacian operator; Mountain-Pass theorem; Palais-Smale condition; Variational elliptic systems; Anisotropic operator; Ekeland variational principle; Nonlinear operator

Mots clés: La variété de Nehari; L'opérateur p-Laplacien; Théorème du col de montagne; Condition de Palais-Smale; Systèmes elliptiques variationnels; Opérateur anisotropique (anisorope); Principe variationnel d'Ekeland; Opérateur non linéaire

Domaines: Mathématiques [math]

Khalid Adriouch. SUR LES SYSTEMES ELLIPTIQUES QUASI-LINEAIRES ET ANISOTROPIQUES AVEC EXPOSANTS CRITIQUES DE SOBOLEV.. Mathématiques [math]. Université de La Rochelle, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00178675⟩