Geometry and feedback classification of low-dimensional non-linear control systems
Géométrie et classification par feedback des systèmes de contrôle non linéaires de basse dimension
Résumé
The purpose of this thesis is the study of the local and global differential geometry of fully nonlinear smooth control systems on two-dimensional smooth manifolds. We are particularly interested in the feedback-invariants of such systems.
In a first part we will use the Cartan's moving frame method in order to determine these invariants and we will see that one of the most important feedback-invariants is the control analogue to the Gaussian curvature of a surface. As we will explain it, the control curvature reveals very precious information on the optimal synthesis of time optimal problems.
In a second part we will construct some microlocal normal forms for time optimal control systems and we will characterize in an intrinsic manner the flat systems. Finally, we will deal with global features; in particular we will see how to generalize the Gauss-Bonnet theorem for control systems on surfaces without boundary.
In a first part we will use the Cartan's moving frame method in order to determine these invariants and we will see that one of the most important feedback-invariants is the control analogue to the Gaussian curvature of a surface. As we will explain it, the control curvature reveals very precious information on the optimal synthesis of time optimal problems.
In a second part we will construct some microlocal normal forms for time optimal control systems and we will characterize in an intrinsic manner the flat systems. Finally, we will deal with global features; in particular we will see how to generalize the Gauss-Bonnet theorem for control systems on surfaces without boundary.
L'objet de cette thèse est l'étude de la géométrie locale et globale des systèmes de contrôle non linéaires sur des variétés lisses de dimension deux. Nous nous intéressons particulièrement aux invariants par feedback de tels sytèmes.
Dans une première partie nous utiliserons la méthode du repère mobile de Cartan afin de déterminer ces invariants et nous verrons que l'un des plus importants invariants par feedback est l'analogue de contrôle de la courbure gaussienne d'une surface. Comme nous l'expliquerons, la courbure de contrôle révèle de très précieuses informations sur la synthèse optimale des problèmes de temps minimal.
Dans une seconde partie nous construirons des formes normales microlocales pour les problèmes de temps minimal et nous caractériserons de manière intrinsèque les systèmes plats. Enfin, nous traiterons de propriétés globales ; nous verrons en particulier comment généraliser le théoréme de Gauss-Bonnet aux systémes de contrôle sur des surfaces compactes sans bord.
Dans une première partie nous utiliserons la méthode du repère mobile de Cartan afin de déterminer ces invariants et nous verrons que l'un des plus importants invariants par feedback est l'analogue de contrôle de la courbure gaussienne d'une surface. Comme nous l'expliquerons, la courbure de contrôle révèle de très précieuses informations sur la synthèse optimale des problèmes de temps minimal.
Dans une seconde partie nous construirons des formes normales microlocales pour les problèmes de temps minimal et nous caractériserons de manière intrinsèque les systèmes plats. Enfin, nous traiterons de propriétés globales ; nous verrons en particulier comment généraliser le théoréme de Gauss-Bonnet aux systémes de contrôle sur des surfaces compactes sans bord.
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