Generalized quantum walks for quantum algorithmics

Marches quantiques généralisées pour l'algorithmique quantique

Olga Lopez Acevedo (1)

1 LPTM - UMR 8089 - Laboratoire de Physique Théorique et Modélisation

We have studied quantum algorithms with the purpose of calculating a matrix permanent with a quantum computer. After constructing some algorithms, we started to study the quantum equivalent of a random walk. These walks have been introduced hoping to build new quantum algorithms from them. We started by generalizing the existing model of quantum walk and started a classification of the walks defined on Cayley graphs of the simplest groups. We studied then quantum walks over the hypercube and simple lattices in one and two dimensions and we obtained an analytical expression for the wave function, in order to explore numerically quantities such as the hitting time and the variance. Finally, we also extended two existing theorems about the existence of quantum scalar walks and about the weak limit of the walk. These results enable us to consider the classification of more complex graphs with an aim of obtaining structural information on the quantum sub-algorithms that can be constructed.

Nous avons étudié les algorithmes quantiques dans le but de calculer le permanent d'une matrice avec une machine quantique. Après avoir construit quelques algorithmes, nous nous sommes interessés aux équivalents quantiques des marches aléatoires. Ces marches peuvent être à la base de nouveaux algorithmes quantiques. Nous avons commencé par généraliser le modèle existant et classifier les marches sur des graphes de Cayley de groupes simples. Nous avons étudié des marches sur l'hypercube et le réseau simple à une et deux directions. Pour ces graphes nous avons calculé analytiquement la fonction d'onde et exploré numériquement le temps d'arrivée et la variance. Nous avons de plus élargi deux théorèmes existants concernant l'existence des marches scalaires et la limite faible. Ces résultats nous permettent d'envisager de compléter la classification des marches pour des graphes plus complexes dans le but d'obtenir des informations structurales sur les sous-algorithmes quantiques possibles.

Mots clés: Algorithmes quantiques; Marches quantiques

Mots clés: Quantum algorithms; Quantum walks

Domaines: Physique mathématique [math-ph]

Olga Lopez Acevedo. Marches quantiques généralisées pour l'algorithmique quantique. Physique mathématique [math-ph]. Université de Cergy Pontoise, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00169212v2⟩