The cohomology ring of the crepant resolutions of some quotient singularities

L'anneau de cohomologie des résolutions crépantes de certaines singularités-quotient

Sébastien Garino (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

The geometric quotient of a smooth variety under a volume-preserving action of a finite group is singular. The McKay correspondence relates the geometry of the crepant resolutions of the quotient and the geometry of the action on the smooth variety. Under some conditions, the equivariant Hilbert scheme of the smooth variety is a crepant resolution. We interpret this scheme as an equivariant grassmannian of algebras, so as to deduce its explicit description. According to Ruan's conjecture, the cohomology ring of a crepant resolution is isomorphic to the orbifold cohomology ring of the quotient, modulo a quantic deformation. For the quotient of a three-dimensional variety, local (linear space with linear action) or compact, we compute the cohomology ring of the crepant resolutions. In the local case, an example shows that the quantic deformation is necessary in Ruan's conjecture. In the compact case, the analogy between the two rings reinforces Ruan's conjecture.

Le quotient géométrique d'une variété lisse par l'action d'un groupe fini préservant le volume est une variété singulière. La correspondance de McKay relie la géométrie des résolutions crépantes du quotient et la géométrie de l'action sur la variété lisse. Sous certaines hypothèses, le schéma de Hilbert équivariant de la variété lisse est une résolution crépante. Nous interprétons ce schéma en terme de grassmannienne d'algèbres équivariante, afin d'en déduire une description explicite. D'après la conjecture de Ruan, modulo une déformation quantique, l'anneau de cohomologie d'une résolution crépante est isomorphe à l'anneau de cohomologie orbifold du quotient. Pour le quotient d'une variété de dimension trois locale (espace vectoriel avec action linéaire) ou compacte, nous calculons l'anneau de cohomologie des résolutions crépantes. Dans le cas local, un exemple montre la nécessité de la déformation quantique dans la conjecture. Dans le cas compact, l'analogie entre les deux anneaux conforte la conjecture.

Mots clés: McKay correspondence; Hilbert Scheme; Ruan's conjecture; crepant resolution

Mots clés: correspondance de McKay; schéma de Hilbert; conjecture de Ruan; résolution crépante

Domaines: Mathématiques [math]

Sébastien Garino. L'anneau de cohomologie des résolutions crépantes de certaines singularités-quotient. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00158942⟩