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Ecole centrale de nantes - ECN Université de Nantes (30/09/2005), Nicolas Moës (Dir.)
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Application de l'approche X-FEM aux calculs parallèles et problèmes multi-échelles
Mathieu Cloirec1

Bien que les moyens numériques actuels évoluent très rapidement, la résolution de problèmes mécaniques reste confrontée à de nombreuses difficultés (complexité des formes géométriques et des comportements, taille des structures de plus en plus grandes...). Pour contourner ces contraintes, de nombreuses méthodes ont été développées. Deux voies complémentaires peuvent être empruntées : les approches s'appuyant sur des études multi-échelles et le calcul intensif.
Les travaux présentés utilisent ces deux voies de manière conjointe et comprennent trois parties: l'étude de problèmes d'homogénéisation périodique traités avec X-FEM, le développement d'une approche multi-échelle tirant profit des avantages de X-FEM et enfin le développement de l'approche X-FEM pour le calcul parallèle.
En premier lieu, les travaux portent sur le domaine de l'homogénéisation périodique qui s'est développée lors de l'apparition des matériaux composites. Cette méthode propose de définir des caractéristiques mécaniques généralisées d'une structure comprenant deux matériaux, ou plus, ayant des propriétés distinctes. La structure se décompose en volumes répétitifs appelés V.E.R. (volume élémentaire représentatif). La résolution du problème microscopique sur le V.E.R. nous permet de définir les caractéristiques de la structure entière. La méthode des éléments finis étendue (X-FEM), permettant la présence de discontinuités au sein des éléments du maillage, associée à la technique des fonctions de niveau (Level Set), apportant une alternative à la représentation de formes géométriques complexes ou aléatoires, est employée à cet effet.
La deuxième partie présente une analyse multi-échelle d'une structure comprenant un détail. Pour traiter ce type de problèmes, il a souvent été d'usage d'employer des méthodes telles que l'approche globale-locale ou encore des techniques capables de raffiner le maillage autour du détail, mais celles-ci sont coûteuses et parfois peu efficaces. Nous proposons une approche à deux échelles: microscopique (à l'échelle du détail) et macroscopique (à l'échelle de la structure). L'objectif est d'apporter une correction au problème de la structure, ne tenant pas compte explicitement du détail, déduite d'une analyse locale de celui-ci. L'approche X-FEM couplée à la technique des fonctions de niveau est utilisée à cet escient.
Enfin, le dernier développement traite de résolutions de problèmes multi-domaines sur une machine parallèle. Mises à part les études précédemment exposées, la difficulté peut ne porter que sur la taille du domaine sur lequel se base le problème. Il s'agit, dans ce cadre, d'augmenter la capacité de calcul pour la résolution de problèmes impliquant une somme de données à traiter très importante. L'étude menée dans cette partie permet la gestion de l'enrichissement entraînée par l'approche X-FEM sur plusieurs domaines
1:  GeM - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique
X-FEM – multi-échelle – homogénéisation périodique – calculs parallèles

Application of X-FEM for multi-scale problems and parallel computations
Although the current numerical tools evolve quickly, the computation of mechanical problems faces many difficulties (complex geometries, complicated behavior, increasingly large sizes of structures ...). To avoid these constraints, many methods had been developped. Two approaches are particularly interesting : multi-scale approaches and parallel computations.
The work presented includes three parts : homogenization with The Extended Finite Element Method (X-FEM), a multi-scale analysis strategy and the development of X-FEM for parallel computations.
Regarding the first topic, the work concerns the field of the periodic homogenization theory which was developed at the time of the appearance of composite materials. This method proposes to define generalized mechanical characteristics of a structure including two or more phases with different properties. The structure is split up into repetitive volumes denoted R.V.E. (representative volume element). The computation of the microscopic problem, i.e. on the R.V.E., enables us to define the homogenized properties. The use of X-FEM, allowing discontinuous strains inside elements, associated to the Level Set technique, bringing an alternative to the representation of complex or random geometries, is employed for this purpose.
The aim of the second part is to solve mechanical problems on large structure containing details using a two-scale analysis. The structural scale is solved using a mesh which does not take into account the detail. The detail is taken into account by an ``extended'' homogenization. The homogenization is obtained from a local analysis of the detail on a sub-mesh of the structural one. On this local mesh, the X-FEM approach and the Level Set technique are used to carry out the analysis.
The last part deals with problems solved on several domains on a parallel machine. The purpose of this application is to increase the capacity of computation for large data problems. More precisely, we developed a strategy able to manage the enrichment of X-FEM on several meshes dispatched on a cluster of computers
X-FEM – periodic homogenization theory – parallel computations

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