Classification of galois objets of a Hopf algebra
Classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf
Abstract
This thesis is about classification of Galois objects of a Hopf algebra. The notion of Galois extensions, which was intensively studied these last years, is a generalisation of the usual notion of Galois extensions for fields, but also a non commutative analogue of the notion of principal fibre bundles. If $H$ is a Hopf algebra, a $H$-comodule algebra $(Z,\delta : Z\to Z \otimes H)$ is a Galois $H$-extension of a subalgebra $B\subset Z$ if the set of coinvariant elements of $Z$ is equal to $B$ and if the canonical map $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ defined by
$$\beta (x\otimes y) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ is a bijection. The galois objects are an important class of galois extensions ; these are the one whose coinvariant elements are reduced to the base ring.
Whereas lots of articles deal with galois extensions, we have few classification results up to isomorphism. To get through this problem, Kassel has introduced and developped with Schneider an equivalence relation on galois extension named homotopy.
In this thesis, we give classification results up to homotopy and isomorphism. We deal with the classification of galois object on three axes.
\begin{itemize}
\item[a)] The explicit construction of a galois object in each homotopy class when the Hopf algebra is the quantum group $U_q(\mathfrak{g})$ associated by Drinfeld and Jimbo to a Lie algebra $\mathfrak{g}$, expliciting a theorem of Kassel and Schneider.
\item[b)]The study of galois objects of the quantum group $O_q(SL(2))$ of functions over the group $SL(2)$, and then a classification result in infinite dimension ; we give the classification up to isomorphism and partial results for the classification up to homotopy.
\item[c)] A systematic study of the classification up to isomorphism and homotopy for the Hopf algebras of dimension $\leq 15$ ; we summaryze results dispersed in the litterature concerning families of pointed or semisimple Hopf algebras and add the classification of the galois objects of the Hopf algebra of dimension $8$ which is neither pointed nor semisimple.
\end{itemize}
$$\beta (x\otimes y) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ is a bijection. The galois objects are an important class of galois extensions ; these are the one whose coinvariant elements are reduced to the base ring.
Whereas lots of articles deal with galois extensions, we have few classification results up to isomorphism. To get through this problem, Kassel has introduced and developped with Schneider an equivalence relation on galois extension named homotopy.
In this thesis, we give classification results up to homotopy and isomorphism. We deal with the classification of galois object on three axes.
\begin{itemize}
\item[a)] The explicit construction of a galois object in each homotopy class when the Hopf algebra is the quantum group $U_q(\mathfrak{g})$ associated by Drinfeld and Jimbo to a Lie algebra $\mathfrak{g}$, expliciting a theorem of Kassel and Schneider.
\item[b)]The study of galois objects of the quantum group $O_q(SL(2))$ of functions over the group $SL(2)$, and then a classification result in infinite dimension ; we give the classification up to isomorphism and partial results for the classification up to homotopy.
\item[c)] A systematic study of the classification up to isomorphism and homotopy for the Hopf algebras of dimension $\leq 15$ ; we summaryze results dispersed in the litterature concerning families of pointed or semisimple Hopf algebras and add the classification of the galois objects of the Hopf algebra of dimension $8$ which is neither pointed nor semisimple.
\end{itemize}
Cette thèse porte sur la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf. Le concept d'extension de Hopf-Galois, qui a été beaucoup étudié ces dernières années, est une généralisation du concept d'extension galoisienne de corps, mais aussi un analogue des fibrés principaux dans le cadre de la géométrie non commutative. Si $H$ est une algèbre de Hopf, une algèbre $H$-comodule $(Z,\delta: Z \to Z \otimes H)$ est une $H$-extension de Hopf-Galois d'une sous-algèbre $B\subset Z$ si l'ensemble des éléments co\"\i nvariants de $Z$ co\"\i ncide avec $B$ et si l'application canonique $\beta : Z \otimes _B Z \to Z\otimes H$ définie par
$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie.
Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes.
\begin{itemize}
\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider.
\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près.
\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni
pointée.
\end{itemize}
$$ \beta (x\otimes y ) = \delta (x) (y\otimes 1)$$ est une bijection. Les objets galoisiens forment une classe importante d'extensions de Hopf-Galois ; ce sont celles dont la sous-algèbre des co\"\i nvariants se réduit à l'anneau de base. Bien qu'une littérature abondante ait été consacrée aux extensions de Hopf-Galois, on a peu de résultats sur leur classification à isomorphisme près. Pour contourner la difficulté de classer les extensions de Hopf-Galois à isomorphisme près, Kassel a introduit et développé avec Schneider une relation d'équivalence sur les extensions de Hopf-Galois qu'il a appelée homotopie.
Dans cette thèse nous donnons des résultats de classification à homotopie et à isomorphisme près. Notre approche de la classification des objets galoisiens tourne autour de trois axes.
\begin{itemize}
\item[a)] La construction explicite de représentants des classes d'homotopie des objets galoisiens de l'algèbre $U_q(\mathfrak{g})$ associée par Drinfeld et Jimbo à une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, explicitant ainsi un théorème de Kassel et Schneider.
\item[b)] Une étude des objets galoisiens de l'alg\` ebre quantique $O_q (SL(2))$ des fonctions sur le groupe $SL (2)$, et donc un résultat de classification en dimension infinie; nous donnons la classification à isomorphisme près et des résultats partiels pour la classification à homotopie près.
\item[c)] Une étude systématique de la classification à isomorphisme et à homotopie près pour les algèbres de Hopf de dimension $\leq 15$ ; nous synthétisons des résultats éparpillés dans la littérature, portant sur des familles d'algèbres de Hopf pointées ou semisimples et nous complétons ces résultats en donnant la classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf de dimension $8$ qui n'est ni semisimple ni
pointée.
\end{itemize}
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