From sandpiles to sand automata
Des piles de sable aux automates de sable
Résumé
In this thesis we study several discrete dynamical systems which can simulate the formation of sandpiles. The behavior of the basic models SPM and IPM(k) is well-known under specific initial conditions. We extend these results to arbitrary initial conditions. Moreover, we introduce the model SSPM which adds symmetry to these models and improves their realism. In the second part, we study another dynamical system, namely sand automata. They are defined similarly to cellular automata, with the constraint that configurations can not contain any "hole˝. These automata can simulate any locally-defined sandpile model, and their solid topological framework allows more general results. We are interested in sand automata dynamics, more precisely in the reversibility properties of sand automata. We conclude by studying the decidability of properties which characterize classical sandpile systems: grain conservation and ultimate periodicity.
Dans cette thèse nous étudions différents systèmes dynamiques discrets permettant de simuler la formation des piles de sable. Le comportement des modèles de base SPM ou IPM(k) est bien connu dans des conditions initiales spécifiques. Nous étendons ces résultats à des conditions initiales plus générales, et nous introduisons le modèle SSPM qui ajoute de la symétrie à ces modèles et améliore leur réalisme. Dans un second temps, nous étudions un autre système dynamique, les automates de sable. Ils sont définis de manière analogue aux automates cellulaires, avec la contrainte supplémentaire qu'uneconfiguration n'admet pas de « trous ». Ces automates peuvent simuler tous les modèles de piles de sable définis localement, et à l'aide d'un cadre mathématique solide, ils permettent d'obtenir des résultats plus généraux. Nous nous intéressons à la dynamique des automates de sable, plus précisément aux propriétés de réversibilité d'un automate, et nous étudions la décidabilité de propriétés caractérisant les piles de sable classiques : conservation des grains et périodicité ultime.