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Detailed view Habilitation à diriger des recherches
Université de Nantes Ecole centrale de nantes - ECN (15/12/2003), Françoise LENE (Présidente et rapporteur) (Pr.)
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Contribution à l'Analyse Asymptotique et à l'Homogénéisation de Structures Périodiques
Patrice Cartraud1

Dans le domaine du calcul de structure, l'augmentation de la puissance des ordinateurs permet aujourd'hui de traiter des structures complexes avec des modèles de plus en plus fins.
Néanmoins, pour des structures hétérogènes ou minces, des modèles tridimensionnels détaillés conduisent à des temps de réalisation du maillage importants, et à une analyse des résultats très difficile compte tenu du volume d'informations à traiter.
Il est donc nécessaire de construire des modèles simplifiés de ces structures, en exploitant l'existence d'un ou plusieurs petits paramètres, traduisant la finesse des hétérogénéités et la minceur de la structure. Pour ce faire, des méthodes très diverses sont proposées dans la littérature. Dans ce travail, c'est principalement la méthode des développements asymptotiques qui est utilisée.
Pour des structures à hétérogénéité périodique, cette méthode permet de déterminer une structure homogène équivalente, à partir de laquelle on pourra obtenir une approximation de la solution du problème hétérogène. Il s'agit donc d'un processus d'homogénéisation, puisque les hétérogénéités sont lissées.
Dans le cas des structures minces, l'objectif est de construire, à partir d'une formulation 3D initiale, des modèles approchés mono- ou bidimensionnels.
Dans une première partie de ce mémoire, intitulée "Modèles Homogénéisés du 1er ordre", un premier niveau d'application des méthodes d'homogénéisation est présenté. L'objectif est simplement l'obtention du comportement macroscopique du matériau, ou de la structure mince périodique.
Au chapitre 1, la modélisation d'un joint de culasse est exposée. Le joint présente une périodicité de ses constituants dans le plan. Or, sur le moteur, du fait du serrage entre le bloc et la culasse, une modélisation tridimensionnelle du joint est nécessaire. Il s'agit là d'une source de difficultés car on n'a pas périodicité dans les 3 directions de l'espace. Ceci conduit à développer de méthodes spécifiques, dans le cadre de la méthode des moyennes. Dans ce même chapitre, figure également un travail sur la modélisation du comportement élastoplastique d'un constituant du joint.
Le chapitre 2 est consacré à l'étude des structures minces périodiques. Comme indiqué auparavant, ces structures se caractérisent par l'existence de deux petits paramètres. Ceci donne lieu à plusieurs méthodes d'homogénéisation, selon l'ordre dans lequel on fait tendre vers 0 ces deux petits paramètres. Cependant, le domaine de validité de ces méthodes n'est pas très bien défini, et d'une manière générale, très peu d'applications ont été traitées, notamment à l'aide de méthodes numériques. Une synthèse de ces différentes méthodes est présentée, avec des applications à différents exemples de poutres, plaques et coques périodiques. Toutes ces méthodes rentrent dans le cadre de la méthode des développements asymptotiques.
Au chapitre 3, le cas des milieux poreux est étudié. En effet, les plaques périodiques que nous avons étudiées au chapitre 2 sont très peu denses, et il est intéressant de les aborder en tant que structures discrètes, où de nombreux travaux existent sur les méthodes d'équivalence. Ces méthodes sont comparées à celles utilisées au chapitre 2. D'autre part, une méthode numérique pour le calcul des caractéristiques équivalentes de ces milieux est proposée, avec une application aux matériaux cellulaires.
Dans la deuxième partie de ce mémoire, intitulée "Modèles homogénéisés d'ordre supérieur et effets de bords", il s'agit de dépasser le stade de la détermination du comportement macroscopique Notre objectif est en effet d'étudier quelles sont les erreurs induites par l'utilisation d'un milieu homogène équivalent dans un problème aux limites, en substitution du milieu hétérogène 3D d'origine, et comment faire pour les diminuer.
Au chapitre 4, pour une poutre périodique, un modèle asymptotique d'ordre supérieur est construit, en déterminant formellement l'expression des termes du développement asymptotique à un ordre quelconque. Les aspects pratiques de mise en oeuvre de la méthode sont également abordés, et une approche pour calculer la série complète à partir de la résolution d'un seul problème macroscopique est présentée.
Pour que le modèle macroscopique d'ordre supérieur soit plus précis que le modèle du 1er ordre, il faut travailler avec une approximation cohérente des équations différentielles et des conditions aux limites. Ceci nous amène à étudier les effets de bords, qui résultent de l'incompatibilité entre la solution asymptotique et les conditions aux limites appliquées à la structure 3D hétérogène. Une approche pour les prendre en compte est exposée au chapitre 5.
Des exemples d'application sont ensuite présentés au chapitre 6, où la solution issue du modèle asymptotique d'ordre supérieur avec prise en compte des effets de bords est comparée à la solution du modèle fin tridimensionnel hétérogène. L'efficacité de la méthode proposée est ainsi démontrée.
En plus de ces deux parties, on présente au chapitre 7 les développements numériques utilisés dans les différentes parties du mémoire. Ce chapitre comprend également l'exposé d'une méthode de calcul originale pour la résolution des problèmes à l'échelle microscopique.
Enfin, le chapitre 8 concerne un travail en cours sur la modélisation des câbles synthétiques.
1:  GeM - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique
homogénéisation – méthode des développements asymptotiques – structures minces – effets de bords

On Asymptotic Analysis and Homogenization of Periodic Structures
homogenization – asymptotic expansion method – slender structures – edge effects

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