Wavelets in Electronic Structure Calculation
Les ondelettes comme fonctions de base dans le calcul de structures électroniques
Résumé
This thesis is devoted to the definition and the implementation of a multiresolution method to determine the fundamental state of a system composed of nuclei and electrons. In this work, we are interested in the Density Functionnal Theory (DFT), which allows to express the Hamiltonian operator with the electronic density only, by a Coulomb potential and a non-linear potential. This operator acts on orbitals, which are solutions of the so-called Kohn-Sham equations. Their resolution needs to express orbitals and density on a set of functions owing both physical and numerical properties, as explained in the second chapter. One can hardly satisfy these two properties simultaneously, that is why we are interested on orthogonal and biorthogonal wavelets basis, whose properties of interpolation are presented in the third chapter. We present in the fourth chapter tridimensionnal solvers for the Coulomb's potential, using not only the preconditioning property of wavelets, but also a multigrid algorithm. Determining this potentiel allows us to solve the self-consistent Kohn-Sham equations, by an algorithm presented in chapter five. The originality of our method consists in the construction of the stiffness matrix, combining a Galerkin formulation and a collocation scheme. We analyse the approximation properties of this method in case of linear hamiltonien, such as harmonic oscillator and hydrogen, and present convergence results of the DFT for small electrons. Finally we show how orbital compression reduces considerably the number of coefficients to keep, while preserving a good accuracy of the fundamental energy.
Cette thèse est consacrée à la définition et la mise en oeuvre d'une méthode multirésolution pour le calcul de la structure électronique d'un système composé de plusieurs noyaux et d'électrons. Dans le cadre de ce travail, nous nous intéressons à la Théorie de la Fonctionnelle de la Densité, dans laquelle le potentiel agissant sur chaque orbitale est exprimé via la densité électronique, selon un terme coulombien et un terme non linéaire. La détermination de l'état fondamental conduit au système d'équations de Kohn et Sham. La forme du potentiel de l'opérateur hamiltonien est décrite dans le chapitre deux. La résolution numérique requiert des fonctions de base possédant de bonnes propriétés physiques et algorithmiques. Les deux familles de bases couramment utilisées ne permettent pas simultanément de construire une base adaptée au système physique et de résoudre efficacement le problème auto-cohérent. C'est pourquoi l'on s'intéresse dans cette thèse à des bases d'ondelettes orthogonales et biorthogonales, et à leurs propriétés vis-à-vis du problème d'interpolation, que l'on présente dans le chapitre trois. Dans le chapitre suivant on détermine le potentiel coulombien en résolvant l'équation de Poisson, par des algorithmes itératifs utilisant le préconditionnement du laplacien en base d'ondelettes, et une méthode multigrille. On détaille ensuite la discrétisation du système d'équations par une méthode combinant formulation de Galerkin et méthode de collocation. On analyse enfin l'ordre de l'approximation pour l'oscillateur harmonique et l'hydrogène, et le comportement du système autocohérent pour différents systèmes physiques.
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