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Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis (10/07/2006), Luc Paquet (Dir.)
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Méthode des éléments finis mixte duale pour les problèmes de l'élasticité et de l'élastodynamique: analyse d'erreur à priori et à posteriori.
Lahcen Boulaajine1

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d'éléments finis mixtes duales pour deux types de problèmes : le premier concerne le problème de l'élasticité linéaire et le second problème celui de l'élastodynamique.

Pour ces deux types de problèmes et dans des domaines non réguliers, les méthodes d'éléments finis mixtes analysées jusqu'à présent, sont celles qui concernent des méthodes mixtes "classiques". Ici, nous analysons la formulation mixte duale pour les deux problèmes de l'élasticité linéaire et de l'élastodynamique.
Pour le problème d'élasticité, nous sommes concernés premièrement par une analyse a priori d'erreur en utilisant l'approximation par l'élément fini $BDM_1$ stabilisé. Afin de dériver une estimation a priori optimales d'erreur, nous établissons des règles de raffinement de maillage.
Ensuite, nous faisons une analyse d'erreur à posteriori sur un domaine simplement ou multiplement connexe. En fait nous établissons un estimateur résiduel fiable et efficace. Cet estimateur est alors utilisé dans un algorithme adaptatif pour le raffinement automatique de maillage. Pour le problème de l'élastodynamique, nous faisons une analyse a priori d'erreur en utilisant le même élément fini que pour le problème d'élasticité, en utilisant une formulation mixte duale pour la discrétisation des variables spatiales.
Pour la discrétisation en temps nous étudions les deux schémas de Newmark explicite et implicite. Par des règles de raffinement de maillage appropriées, nous dérivons des estimées d'erreur optimales pour les deux schémas numérique.
1:  LAMAV - Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes, EA 45
MEF duale mixte – Espaces de Sobolev – Estimations d'erreur à priori – Estimations d'erreur à posteriori – Problème de l'élasticité – Problème de l'élastodynamique – Décomposition de Helmholtz – Schémas de Newmark – Multiplicateurs de Lagrange – Formulation Hybride.

Dual mixed finite element method of the elasticity and elastodynamic problems: a priori and a posteriori error analysis.
In this work, we study the refinement of grids for the dual mixed finite element method for two types of problems: the first one concerns the linear elasticity problem and the second one the linear elastodynamic problem.

For these two types of problems and in nonregular domains, the mixed finite element methods analyzed until present relate to the primal mixed methods. Here, we analyze the dual mixed formulation for both linear elasticity and linear elastodynamic problems.
For the elasticity problem, we are concerned firstly by an a priori error analysis when using finite element approximation by stabilized $BDM_1$ element.
Then, we make an a posteriori error analysis for the dual mixed finite element method for both a simply and a multiply connected domain. In fact we establish a residue based reliable and eff\mbox{}icient error estimator for the dual mixed finite element method. This estimator is then used in an adaptive algorithm for automatic mesh refinement.
For the elastodynamic problem, we make an a priori error analysis when using the same finite element as for the elasticity problem, using a dual mixed formulation for the discretization in the spatial variables and the explicit or implicit Newmark scheme for the discretization in time. By adequate refinement rules on the regular family of triangulations we derive optimal a priori error estimates for the explicit-in-time and implicit-in-time numerical schemes.
Dual mixed FEM – Sobolev spaces – a priori error estimation – a posteriorierror estimates – elasticity problem – elastodynamic problem – Helmholtz decomposition – Newmark scheme – Lagrange multiplier – hybrid formulation

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