Mathematical methods in signal processing for spectral estimation
Méthodes mathématiques en traitement du signal pour l'estimation spectrale
Résumé
We study the theory and the application for a multiple of methods in the domain of spectral power estimation. In the 1 D case, the Levinson and Burg approach are exposed into the saine theoretical and numerical context. In the 2D case, and the general ND case new methods are proposed for spectral power estimation following the criteria of an associated positive definite ND correlation matrix extension, and the Maximum of Entropy spectral power measure. Also, ND Toeplitz correlation systems are exposed in the context of the generalized reflection coefficients for the block Toeplitz case and the Toeplitz block Toeplitz case. In both cases, corresponding algorithms are proposed for the solution of the autoregressive ND linear system. The ND Toeplitz correlation matrix structure is studied under two conditions. The first is the infinite positive extension support with an approximate matching property. The second is a positive extension with a Maximum of Entropy property. Following the second condition, we formalize a fundamental positiveness theory establishing the correspondence between a minimum group of reflection coefficients and the ND Toeplitz correlation matrix, with the saine degree of liberty.
On étudie la théorie et l'application pour plusieurs méthodes dans le domaine de l'estimation de la puissance spectrale. Dans le cas 1D, les deux approches de Levinson et Burg sont exposées dans le même contexte théorique et numérique. Dans le cas 2D, et plus généralement le cas ND, de nouvelles méthodes sont proposées pour l'estimation de la puissance spectrale. Ces méthodes conduisent à des extensions répondant à un critère de positivité et d'une maximisation d'une entropie adaptée à la puissance spectrale : la matrice de corrélation ND doit être définie positive et doit vérifier un critère de maximum d'entropie. Aussi, les systèmes de corrélation ND Toeplitz sont exposés dans le contexte des coefficients de réflexion généralisés pour le cas bloc Toeplitz, et le cas Toeplitz bloc Toeplitz. Dans les deux cas, on propose des nouveaux algorithmes pour la solution du système linéaire autorégressif. La structure ND Toeplitz de la matrice de corrélation est étudiée sous deux conditions. La première est que le support d'extension positive est infini avec une propriété de « matching » approximative. La deuxième est l'extension positive avec une propriété de maximum d'entropie. Suivant la deuxième condition, on formalise une théorie de positivité fondamentale, qui établit la correspondance entre un groupe minimal des coefficients de réflexion généralisés et la matrice de corrélation ND avec le même degré de liberté.