Perturbations of Contractions
Perturbations de Contractions
Abstract
The thesis is...
L'étude des perturbations d'opérateurs est un thème qui apparaît naturellement, sous de diverses formes, dans de nombreux domaines de l'analyse, comme l'analyse spectrale où les équations différentielles. Un rôle particulier dans de telles démarches est joué par les perturbations compactes, qui ont des comportements très différents vis-à-vis des diverses propriétés opératorielles usuellement étudiées. Ainsi par exemple, l'ensemble de la théorie de Fredholm porte sur des invariants aux perturbations compactes très importantes, tels que l'indice Fredholm, mais, par contre, d'autres aspects, comme la décomposition d'une contraction en partie unitaire et complètement non unitaire, sont violemment "sensibles" aux perturbations compactes.
Dans la thèse on s'intéresse à plusieurs propriétés opératorielles qui ne sont pas en général invariantes aux perturbations compactes, en essayant de caractériser les situations où l'on a l'invariance pour diverses classes de perturbations compactes, et parallèlement de décrire certaines situations "pathologiques".
Ainsi les questions investiguées sont du type: quand est-ce qu'une perturbation d'une isométrie agissant sur un espace de Hilbert H par un opérateur compact (ou de rang fini) est encore une isométrie, ou au moins une contraction? Si tel est le cas, dans quelles conditions la perturbation d'une isométrie pure est encore une isométrie pure? Que peut-on dire dans le cas ou l'on remplace l'isométrie que l'on perturbe par un opérateur arbitraire à image fermée?
La première partie de la thèse (les chapitres deux et trois) est dédiée à l'étude des perturbations de rang 1 d'une isométrie V dans un espace de Hilbert H qui sont encore des isométries, du point de vue de la décomposition de Wold, plus précisément on s'intéresse aux situations particulières où une perturbée de rang 1 d'une isométrie pure est encore une isométrie pure. Il est facile de voir qu'une perturbée V+K d'une isométrie V avec un opérateur K de rang 1 est encore une isométrie (respectivement une contraction) si et seulement si K est de la forme pour un certain vecteur unitaire h dans H et un certain complexe de valeur absolue égale à (respectivement inférieure à) 1.
Par contre la réponse à la question: ``quand est ce que V+K est une isométrie pure sachant que V est une isométrie pure?'' est loin d'être triviale, même dans ce cas le plus simple. Un contre exemple célèbre de Clark est présenté dans ce sens au début du chapitre 2, avec quelques précisions portant sur un certain caractère d'unicité de cet exemple.
Le cas des perturbations de rang 1 a été étudié par Nakamura, et des généralisations pour le cas des perturbations quelconques de rang fini ont été données par Cassier, Benhida et Timotin. La démarche de Nakamura, présentée dans le chapitre deux, est basée premièrement sur la réduction du problème au cas d'une isométrie à vecteur cyclique (donc de façon générique à l'opérateur de shift) et deuxièmement par un modèle fonctionnel d'une telle isométrie comme la multiplication par la variable dans un espace de Hardy d'une mesure associée de manière canonique à l'isométrie choisie. Ce modèle permet, à l'aide d'un calcul standard de résolvantes, de caractériser le caractère pur de l'isométrie de départ au moyen de la continuité absolue de cette mesure, ce qui offre de divers critères dans beaucoup de cas particuliers.
Par contre, la réduction initiale du problème au cas du shift unilatéral se fait naturellement par la supposition que le vecteur h qui apparaît dans l'expression tensorielle de l'opérateur de perturbation K est un fonction extérieure dans H2. Par contre, ce type de réduction à caractère "existentiel" ne fournit aucune information même dans le cas du shift, lorsqu'il est perturbé par un opérateur de rang 1 dans lequel la fonction h n'est pas extérieure. Dans ce sens c'est le but du troisième chapitre de montrer que, dans l'autre cas particulier "extrême", c'est à dire quand h est intérieure, la perturbation correspondante du shift est toujours une isométrie pure.
La deuxième partie (les chapitre quatre et cinq) sont dédiés à une démarche beaucoup plus générale qui consiste à décrire les situations où le caractère isométrique se conserve par des perturbations compactes générales, dans les termes d'un certain type de factorisation. Plus précisément, dans le cas des perturbations K de rang 1, on peut immédiatement reformuler la caractérisation du paragraphe précédent de la façon suivante: V'=V+K est une isométrie si et seulement si il existe un unitaire U agissant sur H tel que V'=UV et tel que la différence U-I soit de rang 1 (l'unitaire U est dans ce cas l'opérateur
On montre dans le chapitre 4 qu'une telle factorisation a lieu en général, si on remplace l'opérateur de rang 1 K ci-dessus par un opérateur compact (respectivement de rang fini) quelconque, l'unitaire U dans ce cas pouvant être choisi tel que la différence U-I soit compacte (respectivement de rang fini). On obtient aussi comme conséquence un résultat similaire pour les perturbations V' qui ne sont pas isométriques mais qui sont des contractions, dans ce cas l'unitaire U dans la factorisation doit être remplacé par une contraction. Des corollaires de ce résultat donnent des représentations paramétriques des perturbes isométriques V', analogues à celles obtenues dans le cas des perturbations de rang 1.
Enfin le chapitre 5 étend les résultats du chapitre 4 au problème de la caractérisation, via des factorisations similaires, des perturbations B par un opérateur compact K d'un opérateur à image fermée A, qui ont encore l'image fermée (ceci bien sur dans le cas non Fredholm). On obtient, dans le cas où une factorisation B=XA existe (donc quand A et B satisfont un critère de type Douglas), l'existence d'un opérateur de factorisation X tel que la différence X-I soit encore compacte, et dont la norme est contrôlée. Ce résultat généralise encore les théorèmes du chapitre précédent.
Dans la thèse on s'intéresse à plusieurs propriétés opératorielles qui ne sont pas en général invariantes aux perturbations compactes, en essayant de caractériser les situations où l'on a l'invariance pour diverses classes de perturbations compactes, et parallèlement de décrire certaines situations "pathologiques".
Ainsi les questions investiguées sont du type: quand est-ce qu'une perturbation d'une isométrie agissant sur un espace de Hilbert H par un opérateur compact (ou de rang fini) est encore une isométrie, ou au moins une contraction? Si tel est le cas, dans quelles conditions la perturbation d'une isométrie pure est encore une isométrie pure? Que peut-on dire dans le cas ou l'on remplace l'isométrie que l'on perturbe par un opérateur arbitraire à image fermée?
La première partie de la thèse (les chapitres deux et trois) est dédiée à l'étude des perturbations de rang 1 d'une isométrie V dans un espace de Hilbert H qui sont encore des isométries, du point de vue de la décomposition de Wold, plus précisément on s'intéresse aux situations particulières où une perturbée de rang 1 d'une isométrie pure est encore une isométrie pure. Il est facile de voir qu'une perturbée V+K d'une isométrie V avec un opérateur K de rang 1 est encore une isométrie (respectivement une contraction) si et seulement si K est de la forme pour un certain vecteur unitaire h dans H et un certain complexe de valeur absolue égale à (respectivement inférieure à) 1.
Par contre la réponse à la question: ``quand est ce que V+K est une isométrie pure sachant que V est une isométrie pure?'' est loin d'être triviale, même dans ce cas le plus simple. Un contre exemple célèbre de Clark est présenté dans ce sens au début du chapitre 2, avec quelques précisions portant sur un certain caractère d'unicité de cet exemple.
Le cas des perturbations de rang 1 a été étudié par Nakamura, et des généralisations pour le cas des perturbations quelconques de rang fini ont été données par Cassier, Benhida et Timotin. La démarche de Nakamura, présentée dans le chapitre deux, est basée premièrement sur la réduction du problème au cas d'une isométrie à vecteur cyclique (donc de façon générique à l'opérateur de shift) et deuxièmement par un modèle fonctionnel d'une telle isométrie comme la multiplication par la variable dans un espace de Hardy d'une mesure associée de manière canonique à l'isométrie choisie. Ce modèle permet, à l'aide d'un calcul standard de résolvantes, de caractériser le caractère pur de l'isométrie de départ au moyen de la continuité absolue de cette mesure, ce qui offre de divers critères dans beaucoup de cas particuliers.
Par contre, la réduction initiale du problème au cas du shift unilatéral se fait naturellement par la supposition que le vecteur h qui apparaît dans l'expression tensorielle de l'opérateur de perturbation K est un fonction extérieure dans H2. Par contre, ce type de réduction à caractère "existentiel" ne fournit aucune information même dans le cas du shift, lorsqu'il est perturbé par un opérateur de rang 1 dans lequel la fonction h n'est pas extérieure. Dans ce sens c'est le but du troisième chapitre de montrer que, dans l'autre cas particulier "extrême", c'est à dire quand h est intérieure, la perturbation correspondante du shift est toujours une isométrie pure.
La deuxième partie (les chapitre quatre et cinq) sont dédiés à une démarche beaucoup plus générale qui consiste à décrire les situations où le caractère isométrique se conserve par des perturbations compactes générales, dans les termes d'un certain type de factorisation. Plus précisément, dans le cas des perturbations K de rang 1, on peut immédiatement reformuler la caractérisation du paragraphe précédent de la façon suivante: V'=V+K est une isométrie si et seulement si il existe un unitaire U agissant sur H tel que V'=UV et tel que la différence U-I soit de rang 1 (l'unitaire U est dans ce cas l'opérateur
On montre dans le chapitre 4 qu'une telle factorisation a lieu en général, si on remplace l'opérateur de rang 1 K ci-dessus par un opérateur compact (respectivement de rang fini) quelconque, l'unitaire U dans ce cas pouvant être choisi tel que la différence U-I soit compacte (respectivement de rang fini). On obtient aussi comme conséquence un résultat similaire pour les perturbations V' qui ne sont pas isométriques mais qui sont des contractions, dans ce cas l'unitaire U dans la factorisation doit être remplacé par une contraction. Des corollaires de ce résultat donnent des représentations paramétriques des perturbes isométriques V', analogues à celles obtenues dans le cas des perturbations de rang 1.
Enfin le chapitre 5 étend les résultats du chapitre 4 au problème de la caractérisation, via des factorisations similaires, des perturbations B par un opérateur compact K d'un opérateur à image fermée A, qui ont encore l'image fermée (ceci bien sur dans le cas non Fredholm). On obtient, dans le cas où une factorisation B=XA existe (donc quand A et B satisfont un critère de type Douglas), l'existence d'un opérateur de factorisation X tel que la différence X-I soit encore compacte, et dont la norme est contrôlée. Ce résultat généralise encore les théorèmes du chapitre précédent.
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