Two grid schemes for the resolution of the time-dependent incompressible Navier-Stokes problem
Schémas à deux-grilles pour la résolution du problème de Navier-Stokes instationnaire incompressible
Résumé
This thesis focuses on the time-dependent incompressible Navier-Stokes problem totally discretized in time and space, in two dimensions, by a two-grid method.
In the first part, we extend the two-grid method, applied
by V. Girault and J.-L. Lions to the transient semi-discretized Navier-Stokes problem, to the totally discretized Navier-Stokes problem in time (by a first order scheme) and in space (by a first order finite element method).
In the first step, the fully non-linear problem is discretized in space on a coarse grid with mesh-size H and time step Delta t. In the second step, the problem is linearized around the velocity u_H computed in the first step and is discretized in space on a fine grid with mesh-size h and the same time step.
The two-grid strategy is motivated by the fact that under suitable
assumptions, the contribution of u_H to the error in the non-linear term, is measured in the L^2 norm in space and time, and thus has hopefully a higher-order than if it were measured in the H^1 norm in space.
In the second part, since our objectif is to gain in order of convergence and in complexity of the scheme, we study a second
order time accuracy two-grid scheme for the totally discretized in
time and space Navier-Stokes problem.
We present the following results: for the first order scheme, if h = H^2 = Delta t, then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h. For the second order scheme, if h^2 = (\Delta t)^2 = H^3, then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h^2: the same results as would have been obtained if the non-linear problem had been solved directly on the fine grid.
In the first part, we extend the two-grid method, applied
by V. Girault and J.-L. Lions to the transient semi-discretized Navier-Stokes problem, to the totally discretized Navier-Stokes problem in time (by a first order scheme) and in space (by a first order finite element method).
In the first step, the fully non-linear problem is discretized in space on a coarse grid with mesh-size H and time step Delta t. In the second step, the problem is linearized around the velocity u_H computed in the first step and is discretized in space on a fine grid with mesh-size h and the same time step.
The two-grid strategy is motivated by the fact that under suitable
assumptions, the contribution of u_H to the error in the non-linear term, is measured in the L^2 norm in space and time, and thus has hopefully a higher-order than if it were measured in the H^1 norm in space.
In the second part, since our objectif is to gain in order of convergence and in complexity of the scheme, we study a second
order time accuracy two-grid scheme for the totally discretized in
time and space Navier-Stokes problem.
We present the following results: for the first order scheme, if h = H^2 = Delta t, then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h. For the second order scheme, if h^2 = (\Delta t)^2 = H^3, then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h^2: the same results as would have been obtained if the non-linear problem had been solved directly on the fine grid.
Dans ce travail nous nous intéressons à la résolution du problème d'évolution de Navier-Stokes incompressible totalement discrétisé en temps et en espace, en dimension deux par une méthode à deux grilles. Dans un premier temps, nous étendons la méthode à deux grilles, appliquée par V. Girault et J.-L. Lions au problème de Navier-Stokes instationnaire semi-discrétisé au problème de Navier-Stokes totalement discrétisé en temps (par un schéma d'ordre un) et en espace (par une méthode d'éléments finis d'ordre un). Dans la première étape, le problème non-linéaire est discrétisé en espace et en temps sur une grille grossière de pas d'espace H avec un pas de temps Delta t. Puis dans la deuxième étape, le problème, linéarisé autour de la vitesse u_H calculée à l'étape précédente, est discrétisé en espace sur une grille fine de pas d'espace h et le même pas de temps. L'idée de la méthode à deux grilles est que, sous des hypothèses adéquates, la contribution de u_H à l'erreur dans le terme non-linéaire en espace, est mesurée en norme L^2 en espace et en temps et a un ordre plus élevé que si elle était mesurée en norme H^1. Dans un deuxième temps, vu que le but est de gagner en ordre de convergence de l'erreur totale du schéma ainsi qu'en complexité nous étudions un schéma à deux grilles d'ordre deux en temps du problème totalement discrétisé en temps et en espace de Navier-Stokes. Nous présentons les résultats suivants: dans le cas de la résolution du schéma d'ordre un en temps, si h = H^2 = Delta t, alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h. Dans le cas du schéma d'ordre deux en temps, si h^2 = (Delta t)^2 = H^3, alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h^2: résultats identiques à ceux de la résolution directe du problème non-linéaire sur une grille fine.
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