Some variational problems arising in condensed matter physics
Quelques problèmes variationnels issus de la physique de
la matière condensée
Résumé
In chapter 1, we compute the infimum of an energy with measurable weight over a class of S2-valued maps with prescribed singularities. We prove that such quantity induces a distance. This result allows us to determine in chapter 2, a relaxed type energy for maps with values into the sphere. The explicit formula involves the length of a minimal connection between the topological singularities. In chapter 3, we investigate the physical model for a 2d rotating Bose-Einstein condensate. We estimate the critical velocity of rotation for having d vortices and we determine their location. In chapter 4, we study the asymptotic behavior of minimizers of a Ginzburg-Landau energy with epsilon-depending weight. We prove a pinning effect of the limiting singularities. In chapter 5, we present a set of results on the stabilization in finite time of some mechanical processes where a dry friction coexists with other physical frameworks leading to oscillations in absence of friction.
Dans le chapitre 1, nous calculons l'infimum d'une énergie comportant un poids mesurable sur une classe d'applications à valeurs dans S2 ayant des singularités prescrites. Nous montrons qu'une telle quantité induit une distance. Ceci nous permet de calculer dans le chapitre 2, une énergie de type relaxée pour des applications à valeurs dans la sphère. La formule fait intervenir la notion de connexion minimale connectant les singularités topologiques. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle physique d'un condensat de Bose-Einstein bidimensionnel en rotation. Nous estimons la vitesse critique de rotation pour avoir d tourbillons et nous déterminons leur position. Dans le chapitre 4, nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs d'une énergie de Ginzburg-Landau avec un poids dépendant du petit paramètre epsilon. Nous montrons un phénomène d'ancrage des singularités limites. Dans le chapitre 5, nous présentons quelques résutats sur la stabilisation en temps fini de processus mécaniques où un frottement sec coexiste avec d'autres types de forces donnant lieu à des oscillations dans l'absence de frottement.
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