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Université de Nanterre - Paris X (13/12/2006), Sylvie Méléard (Dir.)
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Modèles particulaires stochastiques pour des problèmes d'évolution adaptative et pour l'approximation de solutions statistiques
Viet Chi Tran1

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.
1:  MODAL'X - Modélisation aléatoire de Paris X
Processus de naissances et de morts – systèmes de particules en interaction – dynamique des populations – structure d'âge – asymptotique des grandes populations – théorème central limite – grandes déviations – dynamiques adaptatives – solutions statistiques – Navier-Stokes 2D – McKean-Vlasov – ondelettes – schéma de discrétisation numérique

Stochastic particle models for problems of adaptive evolution and for the approximations of statistical solutions
This thesis is divided into two independent parts. In the first one, we are interested in a microscopic individual-based model for the description of a population structured by traits and ages. We study the ecology of the system (population dynamics problems) in a large population asymptotics. Under appropriate renormalizations, the microscopic process converges to the measure solution of a deterministic evolution equation. A Central Limit Theorem and the exponential deviations of this convergence are studied. These results are used to generalize some evolution models from the recent theory of adaptive dynamics to age-structured populations. These models describe the evolution of the trait structure of a population on large time scales and under the assumptions of rare (and possibly small) mutations and large populations. In the second part of this thesis, we consider McKean-Vlasov and 2D Navier-Stokes partial differential equations with random initial conditions. The law of the solutions, which are then random variables, is called statistical solution. Using a probabilistic approach for these equations, we propose original stochastic wavelet particle approximations for the moments of order 1 of the statistical solutions, and study the convergence rates of the proposed procedures.
Birth and death processes – interacting particle systems – population dynamics – age structure – large population asymptotics – central limit theorem – large deviations – adaptive dynamics – statistical solutions – 2D Navier-Stokes – McKean-Vlasov – wavelets – numerical discretization scheme

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