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Université Joseph-Fourier - Grenoble I (08/12/2006), Laurent Bonavero (Dir.)
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Deux applications de la positivité à l'étude des variétés projectives complexes
Andreas Höring1

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.
La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.
La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.
1:  IF - Institut Fourier
feuilletages holomorphes – fibré vectoriel décomposé – revêtement universel – courbes rationnelles – théorie de Mori – variété rationnellement connexe – variété uniréglée – images directes de faisceaux – positivité des faisceaux cohérents – espace fibré

Two applications of positivity to the classification theory of complex projective varieties
The subject of this thesis is to investigate two very natural questions in complex algebraic geometry.
The first question asks if the universal covering of a compact Kähler manifold with a split tangent bundle is a product of two manifolds. We will establish a structure theory for manifolds with a split tangent bundle and use covering families of rational curves to show the existence of a fibre space structure. A discussion of the fibre space structure allows to give an affirmative answer to the question for several classes of manifolds.
The second question asks if the positivity of a line bundle implies the positivity of the direct image of the adjoint line bundle under a flat projective morphism. We will see that the answer to this question depends on the positivity of the line bundle and its relation to the geometry of the morphism. We will show under a variety of conditions that the answer is to the affirmative.
holomorphic foliations – split vector bundle – universal covering – rational curves – Mori theory – rationally connected variety – uniruled variety – direct images of sheaves – positivity of coherent sheaves – fibre space

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