Three studies on fragmentation and coalescent processes
Trois études sur la fragmentation et la coalescence stochastiques
Résumé
We study fragmentation processes which are linked to coalescent processes. First, we investigate the Bolthausen-Sznitman coalescent, which, after a time-reversal, becomes a time inhomogeneous fragmentation process. We describe its instantaneous dislocation measure in term of Poisson-Dirichlet laws and we deduce asymptotics of the size of the blocks at large and small times. We also study some additive coalescents after a time-reversal seen as fragmentation processes. We prove that the laws of these processes are absolutely continuous with respect to each other and we give the density. Finally, we characterize the law of interval fragmentations proving a one to one correspondence with fragmentations of ordered partitions.
Nous étudions certains processus de fragmentation qui sont liés à des processus de coalescence. Nous nous intéressons en premier lieu au coalescent de Bolthausen et Sznitman qui, retourné dans le temps, devient un processus de fragmentation inhomogène en temps. Nous décrivons alors sa mesure de dislocation instantanée en fonction de lois de Poisson-Dirichlet et en déduisons des asymptotiques sur la taille des blocs en temps grands et petits. Nous étudions aussi une classe de coalescents additifs après retournement de temps en tant que processus de fragmentation. Nous montrons alors que les lois de tous ces coalescents additifs sont absolument continues les unes par rapport aux autres et nous explicitons cette densité. Enfin, nous caractérisons la loi des fragmentations d'intervalle en la mettant en bijection avec les fragmentations de partitions ordonnées.
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