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Fiche détaillée Thèses
Université d'Orléans (05/12/2006), Jean-Philippe Anker et Philippe Bougerol (Dir.)
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Etude analytique et probabiliste de laplaciens associés à des systèmes de racines :
laplacien hypergéométrique de Heckman--Opdam et laplacien combinatoire sur les immeubles affines.
Bruno Schapira1, 2

Cette thèse porte sur une étude
analytique et probabiliste des théories de Heckman--Opdam et des
immeubles affines de type $\tilde{A}_r$. On étudie aussi la
frontière de Poisson des matrices triangulaires inversibles
rationnelles.

Un de nos principaux résultats est l'obtention de nouvelles
estimations des fonctions hypergéométriques de Heckman--Opdam. Nos
preuves sont relativement plus simples que dans le cas particulier
des espaces symétriques $G/K$. Par exemple pour les estimations de
base des fonctions sphériques, obtenues par Harish-Chandra, ou
Gangolli et Varadarajan, ainsi que pour les estimations récentes
de la fonction sphérique élémentaire $\phi_0$ par Anker, Bougerol
et Jeulin.

Un des autres principaux résultats est l'estimation du noyau de la
chaleur associé à un certain laplacien combinatoire sur un
immeuble affine de type $\tilde{A}_r$.
1 :  MAPMO - Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans
2 :  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
Système de racines – théorie deHeckman--Opdam – immeubles affines – noyau de la chaleur – processusstochastiques – marches aléatoires – théorèmes limites – frontière de Poisson.
http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/bschapira/

Analytical and probabilistic study of
Laplacians associated with root systems: hypergeometric Laplacian
of Heckman--Opdam and combinatorial Laplacian on affine buildings
In this thesis, we are interested in
the study of analytical and probabilistic aspects of
Heckman--Opdam and affine buildings of type $\tilde{A}_r$
theories. We also study the Poisson boundary of rational
triangular matrices.

One of our main results, is to obtain new estimates of the
hypergeometric functions of Heckman--Opdam. Our proofs are
relatively more elementary than in the particular case of
symmetric spaces $G/K$. For instance for the proof of the basic
estimates of spherical functions, obtained by Harish-Chandra or
Gangolli and Varadarajan, and for the recent estimate of the
elementary spherical function $\phi_0$ by Anker, Bougerol and
Jeulin.

Another main result is the estimate of the heat kernel associated
with some combinatorial Laplacian on an affine building of
type $\tilde{A}_r$.
Root systems – theory of Heckman--Opdam – affine buildings – heat kernel – stochastic processes – random walks – limit theorem – Poisson boundary.

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