Detailed view

PhD thesis

Université de Poitiers (21/11/2006), Pol Vanhaecke (Dir.)

Attached file list to this document:

PDF crochet_polynomial.pdf(761.2 KB)

Des structures de (quasi-)Poisson quadratiques sur l'algèbre de lacets pour la construction d'un système intégrable sur un espace de modules

Ariane Le Blanc1

Cette thèse est un travail conjointement sur l'espace de modules $\mathscr M$ des connexions plates du fibré principal $S\times G$ d'une sphère de Riemann $S$ (ayant $n\geq 3$ bords), où $G=\GL{N,\C}$ et sur l'algèbre de lacets $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$. Dans un premier temps, nous étudions une hiérarchie de bidérivations quadratiques sur $\tilde\g$. En particulier, grâce au processus de fusion introduit par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach et Meinrenken en 2002, nous extrayons parmi elles une structure $\PB^Q_1$ de quasi-Poisson sur $\tilde\g$. Celle-ci se restreint au sous-espace $\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$. Nous montrons ensuite un résultat de réduction dans un contexte de bidérivation de quasi-Poisson. Il permet d'équipper le quotient $\mathscr A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$ d'une structure de Poisson induite par $\PB^Q_1$. En s'appuyant sur le système intégrable de Beauville sur $\tilde\g_{n-2}/G$, nous montrons que la famille de fonctions $({\text{tr}} X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitue un système intégrable sur $\mathscr A/G$. Les fonctions que nous considérons sur l'espace de modules $\mathscr M$ sont les tiré-en-arrière $(\mathscr T^*{\text{tr}X^k(a)})_{k\in\N,a\in\C}$, où $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$ est un morphisme de quasi-Poisson et un difféomorphisme local. Nous utilisons ces propriétés de $\mathscr T$ pour montrer que cette famille de fonctions constitue un système intégrable sur $\mathscr M$.

1:	LMA-Poitiers - Laboratoire de Mathématiques et Applications

keyword(s) : variétés de Poisson – systèmes intégrables

Quadratic (quasi-)Poisson structures on the loop algebra related to the construction of an integrable system on a moduli space

This thesis is a work on the moduli space $\mathscr M$ of flat connections of the principal bundle $S\times G$ of a punctured Riemann sphere $S$ (with $n\geq3$ boundary components), whose Lie group is $G=\GL{N,\C}$, and on the loop algebra $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$ simultaneously. In a first time, we study a hierarchy of quadratic biderivations on $\tilde\g$. In particular, thanks to the fusion processus introduced by Alekseev, Kosmann-Schwarzbach and Meinrenken in 2002, we extract, among them, a quasi-Poisson structure $\PB^Q_1$ on $\tilde\g$. This one restricts to the subspace $\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$. We prove then a reduction result in the framework of a quasi-Poisson biderivation. It allows us to equip with a genuine Poisson structure the quotient $\mathscr A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$. Knowing Beauville's integrable system on $\tilde\g_{n-2}/G$, we prove that the family of functions $({\text{tr}} X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitute an integrable system on $\mathscr A/G$. The functions that we considere on the moduli space $\mathscr M$ are the pull-back $(\mathscr T^*{\text{tr}}X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$, where $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$ is a quasi-Poisson morphism and a local diffeomorphism. We use these properties of $\mathscr T$ to show that this family of functions constitute an integrable system on $\mathscr M$.

english keyword(s) : (quasi-)Poisson manifolds : integrable sytems

tel-00114640, version 1

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00114640

oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00114640

From: Ariane Le Blanc <>

Submitted on: Friday, 17 November 2006 11:53:33

Updated on: Friday, 17 November 2006 12:17:45