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Université de Poitiers (21/11/2006), Pol Vanhaecke (Dir.)
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Des structures de (quasi-)Poisson quadratiques sur l'algèbre de lacets pour la construction d'un système intégrable sur un espace de modules
Ariane Le Blanc1

Cette thèse est un travail conjointement sur l'espace de modules $\mathscr
M$ des connexions plates du fibré principal $S\times G$ d'une sphère de
Riemann $S$ (ayant $n\geq 3$ bords), où $G=\GL{N,\C}$ et sur l'algèbre de
lacets $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$.

Dans un premier temps, nous étudions une hiérarchie de bidérivations
quadratiques sur $\tilde\g$. En particulier, grâce au processus de fusion
introduit par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach et Meinrenken en 2002, nous
extrayons parmi elles une structure $\PB^Q_1$ de quasi-Poisson sur
$\tilde\g$. Celle-ci se restreint au sous-espace
$\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$.

Nous montrons ensuite un résultat de réduction dans un contexte de
bidérivation de quasi-Poisson. Il permet d'équipper le quotient $\mathscr
A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$ d'une structure de
Poisson induite par $\PB^Q_1$.

En s'appuyant sur le système intégrable de Beauville sur
$\tilde\g_{n-2}/G$, nous montrons que la famille de fonctions $({\text{tr}}
X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitue un système intégrable sur $\mathscr
A/G$. Les fonctions que nous considérons sur l'espace de modules $\mathscr
M$ sont les tiré-en-arrière $(\mathscr
T^*{\text{tr}X^k(a)})_{k\in\N,a\in\C}$, où $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$
est un morphisme de quasi-Poisson et un difféomorphisme local. Nous
utilisons ces propriétés de $\mathscr T$ pour montrer que cette famille de
fonctions constitue un système intégrable sur $\mathscr M$.
1:  LMA-Poitiers - Laboratoire de Mathématiques et Applications
variétés de Poisson – systèmes intégrables

Quadratic (quasi-)Poisson structures on the loop algebra related to the construction of an integrable system on a moduli space
This thesis is a work on the moduli space $\mathscr M$ of flat connections
of the principal bundle $S\times G$ of a punctured Riemann sphere $S$ (with
$n\geq3$ boundary components), whose Lie group is $G=\GL{N,\C}$, and on
the loop algebra $\tilde\g=\gl{N,\C}(\!(\l^\mi)\!)$ simultaneously.

In a first time, we study a hierarchy of quadratic biderivations on
$\tilde\g$. In particular, thanks to the fusion processus introduced by
Alekseev, Kosmann-Schwarzbach and Meinrenken in 2002, we extract, among
them, a quasi-Poisson structure $\PB^Q_1$ on $\tilde\g$. This one
restricts to the subspace $\tilde\g_n=\set{\sum_{k=0}^nx^{[k]}\l^k}$.

We prove then a reduction result in the framework of a quasi-Poisson
biderivation. It allows us to equip with a genuine Poisson structure the quotient $\mathscr
A/G:=\set{\Id\l^n+\l Y(\l)+\Id|Y\in\tilde\g_{n-2}}/G$.

Knowing Beauville's integrable system on $\tilde\g_{n-2}/G$, we prove that
the family of functions $({\text{tr}} X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$ constitute
an integrable system on $\mathscr A/G$. The functions that we considere on
the moduli space $\mathscr M$ are the pull-back $(\mathscr
T^*{\text{tr}}X^k(a))_{k\in\N,a\in\C}$, where $\mathscr T:G^n\to\tilde\g_n$
is a quasi-Poisson morphism and a local diffeomorphism. We use these
properties of $\mathscr T$ to show that this family of functions constitute
an integrable system on $\mathscr M$.
(quasi-)Poisson manifolds : integrable sytems

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