L^1-theory of nonlinear P.D.E. with general
boundary conditions

Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L^1 avec des conditions générales sur le bord

Karima Sbihi (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

This thesis is devoted to the study of various problems of nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type and of hyperbolic type. These equations are not generally well-posed within the framework of weak solutions (i.e. in distributions
sense), because in general there is no uniqueness. Formulations more suitable were introduced: solutions called SOLA, entropy solutions and renormalized solutions. This thesis, made up of five
chapters, gives results of existence and uniqueness of entropy and renormalized solutions for four nonlinear problems. After recalling some definitions and results necessary for our work, we prove in chapter 2 the existence and the uniqueness of an entropy solution to an elliptic problem of diffusion-convection type with nonlinear boundary conditions including the usual boundary conditions. In
chapter 3, existence and uniqueness of an entropy solution of a parabolic problem with absorption depending on space variable are shown. Chapter 4 deals with the existence of renormalized solutions
for a nonlinear Stefan problem. The last result, presented in chapter 5, concerns the existence and the uniqueness of an entropy solution for a conservation laws problem with nonlinear boundary
conditions.

L'objectif de ce travail est l'étude de divers roblèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d'autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d'une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n'a pas l'unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d'existence et d'unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l'existence et l'unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d'espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d'existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème de lois de conservation scalaires avec des conditions non linéaires sur le bord.

Mots clés: strong trace; scalar conservation laws; doubling of variables; capacity; accretif operator; nonlinear semigroups; nonlinear boundary conditions; elliptic-parabolic-hyperbolic problems

Mots clés: problèmes elliptique-parabolique-hyperbolique; conditions non linéaires; semigroupes non linéaires; opérateur accrétif; capacité; dédoublement de variables; lois de conservation scalaires; trace forte

Domaines: Mathématiques [math]

Karima Sbihi. Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L^1 avec des conditions générales sur le bord. Mathématiques [math]. Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2006. Français. ⟨NNT : 2006STR13111⟩. ⟨tel-00110417⟩